Questão 54

UFPR 2017

Matemática

(UFPR - 2017 - 1ª FASE)

A probabilidade de se vencer uma partida de certo jogo é de 10%. Quantas partidas devem ser jogadas em sequência para que a probabilidade de que haja vitória em pelo menos uma delas seja superior a 99%? Se necessário, use log(3) = 0,477.

Gabarito:

Resolução:

O que queremos é:

$p = frac{1}{10} + frac{9}{10} cdot frac{1}{10} + frac{9}{10} cdotfrac{9}{10} cdot frac{1}{10} + dots > frac{99}{100}$

Podemos perceber que os termos da soma são resultados de uma PG com $a_1 = frac{1}{10}$ e razão $frac{9}{10}$ , a soma então:

$S_n = frac{a_1(q^n - 1)}{q-1}$

$frac{1}{10}cdot frac{((frac{9}{10})^n - 1)}{frac{9}{10}-1} >frac{99}{100}$

$frac{((frac{9}{10})^n - 1)}{frac{9-10}{10}} >frac{99}{10}$

$frac{((frac{9}{10})^n - 1)}{-frac{1}{10}} >frac{99}{10}$

$-((frac{9}{10})^n - 1) >frac{99}{100}$

$-(frac{9}{10})^n + 1 >frac{99}{100}$

$(frac{9}{10})^n <frac{1}{100}$

$log{((frac{9}{10})^n)} <log{(frac{1}{100})}$

$nlog{(frac{9}{10})} <log{(frac{1}{100})}$

$n(log{(3^2)} - log{(10)} ) < -2log{10}$

$n(2log{(3)} - 1 ) < -2$

$n(2cdot 0,477 - 1 ) < -2$

$n(0,954 - 1 ) < -2$

$n(-0,046) < -2$

$n < 43,4$

Logo, a opção é 44

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