Questão 8004

UFRGS 2011

Matemática

(UFRGS - 2011) Um polinómio de 5º grau com coeficientes reais que admite os números complexos -2 + i e 1 - 2i ; como raízes, admite

no máximo mais uma raiz complexa.

2 - i e - 1+ 2i como raízes.

uma raiz real.

duas raízes reais distintas.

três raízes reais distintas.

Gabarito: uma raiz real.

Resolução:

As raízes complexas de uma equação sempre comportam-se em pares em que uma é a forma normal e a outra é o conjugado.

Então se nós já temos as seguintes raízes: $x_{1}=-2+i$ e $x_{2}=1-2i$

os seus conjugados serão $x_{3}=-2-i$ e $x_{4}=1+2i$

E como a equação é de quinto grau e as raízes complexas sempre vêm em pares, temos que a quinta raíz é obrigatoriamente Real.

Então temos: $4$ raízes complexas e $1$ raíz Real.

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