Questão 12233

UFRGS 2015

Matemática

(UFRGS - 2015) Considere o padrão de construção representado pelo desenho abaixo.

O disco A tem raio medindo 1. O disco B é tangente ao disco A no ponto P e passa pelo centro do disco A. O disco C é tangente ao disco B no ponto P e passa pelo centro do disco B. O disco D é tangente ao disco C no ponto P e passa pelo centro do disco C. O processo de construção dos discos é repetido infinitamente.

Considerando a sucessão infinita de discos, a soma das áreas dos discos é

Gabarito:

Resolução:

1) Os raios dos círculos estão diminuindo em PA com a razão $frac{1}{2}$ .

2) Como a área de um círculo é pi vezes o raio elevado ao quadrado (A = π r²), temos que a razão das área será $frac{1}{4}$ .

3) A área do primeiro círculo será π.

4) Como trata-se de uma PG infinita, a soma será:

$S_n=frac{a_1}{1-q}=frac{pi}{1-frac{1}{4}}=frac{4pi }{3}$

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