Questão 8133

UFRGS 2015

Matemática

(UFRGS - 2015) Escolhe-se aleatoriamente um número formado somente por algarismos pares distintos, maior do que 200 e menor do que 500. Assinale a alternativa que indica a melhor aproximação para a probabilidade de que esse número seja divisível por 6.

20%

24%

30%

34%

50%

Gabarito:

50%

Resolução:

Resolvendo através do princípio fundamental da contagem:

A probabilidade é dada pela razão entre a quantidade de casos favoráveis e a quantidade total.

Quantidade Total:

Pela restrição imposta pelo enunciado, ou o número começa com o algarismo $2$ ou ele começa com o algarismo $4$ :

$underline{2}: underline{: : }: underline{: : }$

$underline{4}: underline{: : }: underline{: : }$

Para o segundo algarismo, no primeiro caso, restam os números $0$ , $4$ , $6$ e $8$ (lembrando que o $2$ não pode pois os algarismos devem ser distintos!). Temos então $4$ possibilidades para o segundo algarismo. Para o terceiro algarismo, temos uma possibilidade a menos, já que já teremos usados 2 dos algarismos disponíveis. São $3$ possibilidades para o terceiro algarismo (ilustrando: fixando-se os dois primeiros algarismo em $underline{2}: underline{0}: underline{: : }$ , os número que podemos formar são $underline{2}: underline{0}: underline{4}$ , $underline{2}: underline{0}: underline{6}$ e $underline{2}: underline{0}: underline{8}$ .

Por princípio fundamental da contagem, então, para o primeiro caso temos: $1$ possibilidade para o primeiro algarismo $imes$ $4$ possibilidades para o segundo algarismo $imes$ $3$ possibilidades para o terceiro algarismo $=$ $12$ possibilidades.

O mesmo raciocínio pode ser aplicado para o segundo caso onde também temos $12$ possibilidades. Somando-se, então, ambos os casos, temos um total de $24$ possibilidades.

Casos Favoráveis:

Um número é divisível por 6 quando ele é par e divisível por 3. Como todos os números do nosso total são pares, basta verificar a divisibilidade por 3 (a soma dos algarismos é divisível por 3):

Vamos fazer esse teste para todos os números que começam com $underline{2}: underline{0}: underline{: : }$ e com $underline{2}: underline{4}: underline{: : }$ e extrapolar nosso teste para o restante dos números.

$underline{2}: underline{0}: underline{4}$ ok

$underline{2}: underline{0}: underline{6}$ não

$underline{2}: underline{0}: underline{8}$ não

$underline{2}: underline{4}: underline{0}$ ok

$underline{2}: underline{4}: underline{6}$ ok

$underline{2}: underline{4}: underline{8}$ não

Esse padrão se repete entre todas as combinações possíveis. Encontramos uma quantidade de $12$ números que atendem à restrição (metade dos números, segundo nosso teste)

Temos então:

$frac{12}{24} = 50\%$

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