Questão 7614

UFRGS 2017

Matemática

(Ufrgs 2017) Considere as igualdades abaixo.

I. (1 - 2i)(1 + 2i) = 5, sendo i a unidade imaginária.

II. 2⁰ + 2^-1 + 2^-2 + 2^-3 + ... = 2.

III. 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100 = 50.

Quais igualdades são verdadeiras?

Apenas I.

Apenas III.

Apenas I e II.

Apenas II e III.

I, II e III.

Gabarito:

Apenas I e II.

Resolução:

I. (1 - 2i)(1 + 2i) = 5, sendo i a unidade imaginária. - VERDADEIRA

$mathrm{Aplicar:a:regra:da:aritmética:complexa}:quad left(a+bi ight)left(a-bi ight)=a^2+b^2$

$left(1-2i ight)left(1+2i ight)=1^2+left(-2 ight)^2=5$

II. 2⁰ + 2^-1 + 2^-2 + 2^-3 + ... = 2. - VERDADEIRA

Para poder realizar vamos utilizar a soma de uma PG infinita. Consideramos a1 como 1, q como 1/2 e encontramos a solução.

$S=frac{1}{1-frac{1}{2}}=2$

III. 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100 = 50. - FALSA

A III será a soma de 2 PAs: uma com razão 2, a1 = 1, an=99 e 50 termos. Com outra PA com razão -2, a1=-2 e an = -100 e 50 termos.

Para a primeira PA:

$S=frac{(1+99) cdot 50}{2}=2500$

Para a segunda PA:

$S=frac{(-2+-100) cdot 50}{2}=-2550$

A resposta será -50.

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