Questão 7716

UFRN 2012

Matemática

(UERN - 2012) Qual é o valor do termo independente de x do binômio , considerando que o mesmo corresponde ao sétimo termo de seu desenvolvimento?

435

672

543

245

Gabarito: 672

Resolução:

$\\ ext{Lembrando da fórmula do termo } T_{k+1} ext{ da expansão em binômio de Newton do binômio } (frac{2}{x^2}+x)^n ext{ que é:} \\ T_{k+1}=inom{n}{k}cdot left(frac{2}{x^2} ight )^{n-k}cdot x^k=inom{n}{k}cdot 2^{n-k}cdot x^{2k-2n}cdot x^k;;\\ herefore;;T_{k+1}=inom{n}{k}cdot 2^{n-k}cdot x^{3k-2n}\\ ext{Como foi falado no enunciado que o termo da expansão é o sétimo, temos que } k=6 ext{, logo:} \\ T_{6+1}=T_7=inom{n}{6}cdot 2^{n-6}cdot x^{18-2n}\ ext{Mas esse termo é independente de } x ext{, logo o expoente de } x ext{ é nulo. Ou seja: } 18-2n=0;; herefore;;n=9 ext{\\ Dessa forma, vem que:} \\ T_7=inom{9}{6}cdot 2^3=inom{9}{3}cdot 8=frac{9!}{3!cdot6!}cdot 8=frac{9cdot 8cdot 7}{3cdot 2cdot 1} cdot 8\\ herefore;;oxed{T_7=672}$

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