Questão 33

UFU 2018

Matemática

(UFU - 2018 - 1^a FASE)

Funções afins e quadráticas têm aplicações em alguns modelos simples, envolvendo os conceitos preço de venda e custo de produção de uma mercadoria, bem como a receita e o lucro obtidos com sua venda. Para uma empresa, é fundamental determinar o intervalo de produção em que a receita supera o custo de produção.

Suponha que o custo de produção de uma mercadoria de certa empresa, em função da quantidade produzida x ,seja dado pela função $C(x)=40x+1400(c_{0}=1400$ é denominado custo fixo de produção) e que o preço de venda seja p(x)=-2x+200 , em que x é a quantidade demandada (vendida). Nesse caso, a receita R obtida com as vendas é função de x, precisamente R(x)=x.p(x) .

As quantidades produzidas e vendidas x para as quais essa empresa tem lucro L(x)=R(x)-C(x) positivo (receita supera o custo de produção) é

$egin{Bmatrix} x epsilon mathbb{R} & | & x>40 end{Bmatrix}$

$egin{Bmatrix} x epsilon mathbb{R} & | & 0< x<10 end{Bmatrix}$

$egin{Bmatrix} x epsilon mathbb{R} & | & 10< x<70 end{Bmatrix}$

$egin{Bmatrix} x epsilon mathbb{R} & | & 10< x<40 end{Bmatrix}$

Gabarito:

$egin{Bmatrix} x epsilon mathbb{R} & | & 10< x<70 end{Bmatrix}$

Resolução:

Dado L(x)= R(x) - C(x) onde R(x)=x.p(x) com p(x) = -2x+200 e C(x)=40x+1400. O intervalo em que o lucro será positivo:

Cálculo do lucro:

$L(x) = x . (-2x + 200) - (40x + 1400)$

$L(x) = -2x^{2}+200x-40x-1400$

$L(x)=-2x^{2}+160x-1400$

Para $L(x)>0$ temos $-2x^{2}+160x-1400>0$

Próximo passo é encontrar as raízes da inequação:

$-2x^{2}+160x-1400=0$

$x^{2}+80x+700=0$

Usando soma e produto:

$x1=10$

$x2=70$

Portanto para termos lucro positivo o intervalo da função será entre 10 e 70. Veja que se trata de uma equação de 2º grau de concavidade para baixo.

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