Questão 67

UFU 2022

Matemática

(UFU - 2022)

Considere a equação de segundo grau na variável real x definida por $4x^{2}-(4senphi )x-cos^{2}phi =0$ , em que $phi$ é um valor dado e pertencente ao intervalo $(0,pi)$ .

Segundo essas informações, as raízes dessa equação pertencem à união dos intervalos

$left ( -1,-frac{1}{2} ight ) cup left ( 0,frac{1}{2} ight )$

$left ( -frac{1}{2},0 ight ] cup left ( frac{1}{2},1 ight ]$

$(-2,0 ] cup (2,4]$

$left ( -2,-frac{3}{2} ight ) cup left ( 2,frac{5}{2} ight )$

Gabarito:

$left ( -frac{1}{2},0 ight ] cup left ( frac{1}{2},1 ight ]$

Resolução:

Encontrando as raízes da equação:

$\Delta=b^2-4ac ightarrow (4sen(phi))^2-4cdot 4 cdot cos^2(phi)\16sen^2(phi)+16cos^2(phi) ightarrow 16(sen^2(phi)+cos^2(phi))$

E temos a relação que sen^2+cos^2 é igual a 1, então temos que $\Delta=16$

Aplicando:

$frac{-bpmsqrtDelta}{2a} ightarrow frac{4sen(phi)pm 4}{8} ightarrow frac{sen(phi)+1}{2}=x$

Transformando em x a incógnita:

$2xpm 1=sen(phi)$

Como $phi$ varia de 0 a $pi$ , temos que o sen pode ser entre 0 e 1, então temos:

$0<2xpm1 leq 1$

Para cada caso:

$\0<2x+1 leq 1 ightarrow -1<2xleq0 ightarrow frac{-1}{2}< xleq 0\\ 0< 2x-1 leq 1 ightarrow 1<2xleq2 ightarrow frac{1}{2}< xleq 1$

Nesse caso temos que a solução pode ser descrita como:

$S=(frac{-1}{2},0] cup (frac{1}{2},1]$

Letra b

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