Questão 20504
UNESP 1997
(Unesp 1997) No cubo ABCDEFGH, sugerido pela figura a seguir, considere o ponto médio, M, da aresta AE.
Se N é o ponto em que o plano determinado por H, M e B corta a aresta CG, pode-se afirmar que:
HMBN é um quadrado
HMBN é um retângulo
HMBN é paralelogramo
HM=2ME
HM=3ME
Gabarito:
HMBN é paralelogramo
Resolução:
Os planos (ADHE), (BCGF), (ABFE) e (DCGH) são as faces do cubo.
E sendo α o plano definido por HMBN, tem-se:
α ⋂ plano (ADHE) = HM
α ⋂ plano (BCGF) = BN
o plano (ADHE) é paralelo ao plano (BCGF), portanto, HM é paralelo a BN (I)
α ⋂ plano (ABFE) = MB
α ⋂ plano (DCGH) = HN
o plano (ABFE) é paralelo ao plano (DCGH), portanto, MB é paralelo a NH (II)
De (I) e (II) vem que HMBN é um paralelogramo
Além disso, verifica-se que HM = HN = BM = BN, pois todos esses segmentos são hipotenusa de triângulos retângulos de catetos iguais a 1 lado e 1/2 lado de cubo respectivamente. Assim, nosso paralelogramos pode ser quadrado se os lados fizerem 90º entre si.
Sendo o lado do quadrado igual a 1 sem perda de generalidade, teremos que HM = √(1² + (1/2)²) = √(5/4).
Vemos também que a projeção de MN sobre a base EFGH é a própria diagonal EG, cujo comprimento é de √2.
Sendo assim, podemos verificar se o ângulo MHN é reto aplicando Pitágoras ao triângulo HMN:
HM² + HN² = MN², então
5/4 + 5/4 = 2, então
5/2 = 2 (ABSURDO!!)
Como obtivemos um absurdo, temos que o ângulo entre HM e HN não é reto.
Assim, HMBN é um paralelogramo, mais especificamente do tipo losango, pois todos os lados tem o mesmo comprimento.
Alternativa C