Questão 6781

UNESP 1999

Matemática

(UNESP - 1999) Se A, B e C forem matrizes quadradas quaisquer de ordem n, assinale a única alternativa verdadeira.

AB = BA.

Se AB = AC, então B = C.

Se A² = O_n (matriz nula), então A = O_n.

(AB)C = A(BC).

(A + B)² = A² + 2AB + B².

Gabarito:

(AB)C = A(BC).

Resolução:

a) Falso, pois produto de matrizes não é comutativo. Exemplo, com n=2:

$A=egin{bmatrix} 1 & 0\ 0 & 0 end{bmatrix} ext{ e } B=egin{bmatrix} 0 & 0\ 1 & 1 end{bmatrix}$

$AB=egin{bmatrix} 0 & 0\ 0 & 0 end{bmatrix} ext{ e } BA=egin{bmatrix} 0 & 0\ 1 & 0 end{bmatrix}Rightarrow AB eq BA$

b) Falso, veja:

$AB=AC Rightarrow AB-AC=0_n Rightarrow Acdot(B-C)=0_n Rightarrow$

Não necessariamente $B = C$ , podemos ter $A=0_n$

c) Falso. Veja o seguinte contra-exemplo, com n = 2

$A=egin{bmatrix} 0 & 0\ 1 & 0 end{bmatrix};;Rightarrow;;A^2=egin{bmatrix} 0 & 0\ 0 & 0 end{bmatrix}=0_2$

d) Verdadeiro. O produto de matrizes é associativo.

e) Falso, veja:

$(A+B)^2=(A+B)cdot(A+B)=A^2+AB+BA+B^2$

Como AB não necessariamente é igual a BA, não podemos associar esses dois termos.

Alternativa D.

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