Gabarito:
x3 - x2 - x + 3.
Resolução:
Do enunciado: p'(1) = 0, p'(-1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x - 1 é 2.
p'(1) = 0 = 3 + 2b + c.
p'(-1) = 4 = 3 - 2b + c.
Somando as duas equações acima e substituindo os valores dados no enunciado:
4 = 6 + 2c, logo c = -1.
Substituindo o valor de c na primeira equação: 0 = 3 + 2b -1, logo b = -1.
Por enquanto já podemos afirmar que p(x) = x³ - x² -x + d.
Vamos usar agora fazer a divisão polinomial p(x)/(x-1) que deve ter resto 2:
p(x) = k(x)*(x-1) +2.
x³ - x² -x + d = k(x)*(x-1) +2.
k(x) = x² -1.
Perceba que x³ -x² -x + d = (x² -1)(x-1) +2:
x³ -x² -x + d = x² - x²-x + 1 +2, logo d = 1+2 = 3.
Portanto, p(x) = x³ -x² -x + 3. Alternativa B.