Questão 8068

Gabarito:

Resolução:

z³ = i

Seja z = |z| cis(x), temos que:

z³ = |z|³ cis(3x) = i

Sabemos que i = cis(/2), assim temos que:

|z|³ cis(3x) = cis(/2)

Igualando os módulos e os argumentos, temos:

|z| = 1

3x = /2 + 2k, então

x = /6 + 2k/3

Com k = 0, temos:

z₀ = cis(/6) = √3 /2 + 1/2 *i

com k = 1, temos:

z₁ = cis(5/6) = -√3 /2 + 1/2 *i

com k = 2, temos:

z₂ = cis(3/2) = -i

 

Logo, as raízes são √3 /2 + 1/2 *i;   -√3 /2 + 1/2 *i;  -i