Questão 12495

UNESP 2012

Matemática

(UESPI - 2012) Qual o coeficiente de x⁷ na expansão de (2 + 3x + x²)⁴ ?

Gabarito:

Resolução:

Note que podemos reescrever $x^2+3x+2$ como $(x+1) cdot (x+2)$ e consequentemente, podemos reescrever o binômio dado como $(x+1)^4 cdot (x+2)^4$ . A soma dos coeficientes de $x^7$ é igual a soma do produto $x^3 cdot x^4$ com o produto $x^4 cdot x^3$ . Temos:

I:

$egin{cases}T_{p+1} = inom{4}{p} cdot x^{4-p} cdot 1^p Leftrightarrow T_2 = inom{4}{1} cdot x^3 cdot 1 herefore T_2 = 4x^3 \\T_{p+1} = inom{4}{p} cdot x^{4-p} cdot 2^p Leftrightarrow T_1 = inom{4}{0} cdot x^4 cdot 2^0 herefore T_1 = x^4end{cases}$

II:

$egin{cases}T_{p+1} = inom{4}{p} cdot x^{4-p} cdot 1^p herefore T_1 = inom{4}{0} cdot x^4 cdot 1 herefore T_1 = x^4 \\ T_{p+1} = inom{4}{p} cdot x^{4-p} cdot 2^p herefore T_2 = inom{4}{1} cdot x^3 cdot 2 herefore T_2 = 8x^3end{cases}$

Assim, $C = 4 cdot 1 + 1 cdot 8 herefore C = 12$ .

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