Questão 23
UNESP 2012
(UNESP - 2012 - 2ª fase)
Um artesão foi contratado para ornamentar os vitrais de uma igreja em fase final de construção. Para realizar o serviço, ele precisa de pedaços triangulares de vidro, os quais serão cortados a partir de um vidro pentagonal, com ou sem defeito, que possui n bolhas de ar (n = 0, 1, 2…).
Sabendo que não há 3 bolhas de ar alinhadas entre si, nem 2 delas alinhadas com algum vértice do pentágono, e nem 1 delas alinhada com dois vértices do pentágono, o artesão, para evitar bolhas de ar em seu projeto, cortou os pedaços de vidro triangulares com vértices coincidindo ou com uma bolha de ar, ou com um dos vértices do pentágono.
Nessas condições, determine a lei de formação do número máximo de triângulos (T) possíveis de serem cortados pelo artesão, em função do número (n) de bolhas de ar contidas no vidro utilizado.
Gabarito:
Resolução:
Se considerarmos que o número de bolhas é zero, então temos três triângulos.
Toda bolha está dentro de um dos triângulos já considerados. Portanto, ao considerar uma bolha adicional, o triângulo que a contém deve ser dividido em três novos triângulos, resultando em um aumento de dois na quantidade total de triângulos.
Assim, para n bolhas, haverá 2n vidros triângulos. Portanto o total de triângulos é dado pela lei de formação: