Questão 83

UNESP 2012

Matemática

(UNESP - 2012 - 1a Fase) Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por:

$small Pleft(t ight)=left[280-190cdot e^{-0,019cdotleft(t-1970 ight )} ight ]$ .

Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para o logarítmo natural

$small lnleft(frac{14}{95} ight )approx-1,9$

a população brasileira será 90% da suposta população de estabilização aproximadamente no ano de:

2065.

.2070.

2075.

2080.

2085.

Gabarito:

.2070.

Resolução:

Queremos saber quando a população será 90% da população de estabilização, então temos:

$280cdot0,9=280-190cdot e^{-0,019(t-1970)}$

Desenvolvendo então:

$\280cdot0,9-280=-190cdot e^{-0,019(t-1970)}\\ frac{280cdot(0,9-1)}{-190}= e^{-0,019(t-1970)}\\ frac{280cdot0,1}{190}= e^{-0,019(t-1970)}\\ frac{14}{95}=e^{-0,019(t-1970)}$

Com isso tiramos o logaritmo natural de $frac{14}{95}$ para encontrar t:

$ln(frac{14}{95})=-0,019cdot(t-1970)$

Como temos no enunciado que $ln(frac{14}{95})=-1,9$ , substituimos:

$\-1,9=-0,019cdot(t-1970) ightarrowfrac{-1,9}{-0,019}=t-1970 ightarrow 100=t-1970\ t=2070$

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