Questão 36107

UNESP 2015

Matemática

(Unesp 2015) Renato e Alice fazem parte de um grupo de 8 pessoas que serão colocadas, ao acaso, em fila. Calcule a probabilidade de haver exatamente 4 pessoas entre Renato e Alice na fila que será formada.

Generalize uma fórmula para o cálculo da probabilidade do problema descrito acima com o mesmo grupo de "8 pessoas”, trocando "4 pessoas” por "m pessoas”, em que $1leq m leq 6$ . A probabilidade deverá ser dada em função de m.

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente calculamos quantos grupos de 4 pessoas podemos formar usando as 6 outras pessoas da fila: $A_{8-2,4}$

Segundamente calculamos a permutação somente entre Renato e Alice: $P_2$

Terceiramente calculamos a permutação entre o bloco (Renato, Alice e os outros 4 que estão entre eles) e as outras 2 pessoas: $P_{8-6+1}$

Calculando:

$A_{8-2,4}cdot P_2 cdot P_{8-6+1} = frac{6!}{(6-4)!} cdot 2! cdot 3! = 6! cdot 3!$

Todas as possibilidades de formação da fila são: $8!$

Logo, a probabilidade P:

$P = frac{6! cdot 3!}{8!} = frac{3}{28}$

Podemos generalizar da seguinte forma:

$A_{6,m} cdot P_2 cdot P_{7-m}$

$frac{6!}{(6-m)!} cdot 2! cdot (7-m)!$

$6! cdot 2! cdot (7-m)$

Calculando a probabilidade geral:

$frac{6! cdot 2! cdot (7-m)}{8!} = frac{7-m}{28}$

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