Questão 50654

UNESP 2015

Matemática

(UNESP - 2015 - 2 FASE) Para cada n natural, seja o número $K_n = sqrt{3.sqrt{3.sqrt{3.(...).sqrt{3}}}} - sqrt{2.sqrt{2.sqrt{2.(...)sqrt{2}}}}$

Se $n ightarrow +infty$ , para que valor se aproxima K_n?

Gabarito:

Resolução:

$K_infty = sqrt{3.sqrt{3.sqrt{3.(...).sqrt{3}}}} - sqrt{2.sqrt{2.sqrt{2.(...)sqrt{2}}}}$

Reescrevendo:

$K_infty = a - b$

Encontrando $a$ :

$a = sqrt{3.sqrt{3.sqrt{3.(...).sqrt{3}}}}$

$a^2 = 3.sqrt{3.sqrt{3.(...).sqrt{3}}}$

$a^2 = 3a$

$a^2 -3a=0$

$a(a -3)=0$

Então ou $a=0$ que é absurdo então $a=3$ :

Fazendo o mesmo processo com $b$ encontramos:

$b(b -2)=0$

Logo $b=2$ , então:

$K_infty= a - b$

$K_infty= 3-2 = 1$

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