Questão 10

UNICAMP 2006

Matemática

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE ) Sabe-se que a reta r(x) = mx + 2 intercepta o gráfico da função y = |x| em dois pontos distintos, A e B.

a) Determine os possíveis valores para m.
b) Se O é a origem dos eixos cartesianos, encontre o valor de m que faz com que a área do triângulo OAB seja mínima.

Gabarito:

Resolução:

$\ mx + 2 = |x| \ \ x geq 0 \ \ mx + 2 = x \ \ x(1-m)=2 \ \ x = frac{2}{1-m} \ \ m eq 1 \ \ 1-m > 0 \ \ m < 1$

________________________

$\ x < 0 \ \ mx + 2 = -x \ \ x(1+m) = -2 \ \ x = frac{-2}{1+m} \ \ m eq -1 \ \ 1 +m > 0 \ \ m > -1$

Portanto, temos:

S = {-1<m<1}

$A = (frac{2}{1-m}, frac{2}{1-m}) ; B = (frac{-2}{1+m}, frac{2}{1+m}); 0 (0,0)$

$\ egin{bmatrix} frac{2}{1-m} & frac{2}{1-m} &1 \ frac{-2}{1+m} & frac{2}{1+m} &1 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix} = 1 [frac{4}{1-m^{2}}+ frac{4}{1-m^{2}}] = frac{8}{1-m^{2}}$

$\ A = frac{4}{1-m^{2} } \ \ A_{min} = denominador maximo$

$\ 1-m^{2} > 0 \ \ m^{2} < 1 \ \ m^{2} -1 < 0 \ \ m = frac{-b}{2a} = frac{0}{2} = 0$

Portanto, a área do triângulo será mínima para m = 0.

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