Questão 11
UNICAMP 2006
(UNICAMP - 2006 - 2 FASE ) Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que = 6 cm,
= 8 cm e
= 10 cm. Os segmentos
,
e
também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados
,
e
, respectivamente.
a) Calcule os comprimentos dos segmentos .
b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de vértices D, E e F
Gabarito:
Resolução:
a) Temos a figura:
A figura abaixo ilustra um triângulo, uma circunferência circunscrita a ele e quadrados. Como o triângulo é retângulo, o ponto O é o ponto médio da hipotenusa BC. Sendo D o centro do quadrado de lado BC, temos DO = CO = BC/2 = 5 cm. Como os triângulos ABC e GOC são semelhantes e CO = BC/2, então GO = AB/2 = 4. Além disso, como E é o centro do quadrado de lado AC, temos EG = AC/2 = 3. Assim, EO = EG + GO = 7 cm. Repetindo o raciocínio para o triângulo OHB e o quadrado de lado AB, obtemos OH = AC/2 = 3 e HF = AB/2 = 4, de modo que FO = OH + HF = 7 cm.
b) Temos que o triângulo EOF é retângulo e isósceles, temos:
Para calcular DF e DE, temos: