Questão 12

UNICAMP 2006

Matemática

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE ) As três raízes da equação x³ – 3x² + 12x – q = 0, onde q é um parâmetro real, formam uma progressão aritmética.
a) Determine q.
b) Utilizando o valor de q determinado no item (a), encontre as raízes (reais e complexas) da equação.

Gabarito:

Resolução:

a) x1, x2 e x3 = Progressão aritmética, então:

$\ x_{1} = x_{2} - r \ \ x_{3} = x_{2} +r \ \$

Usando a relação de Girard, temos:

$x_{1}+x_{2} +x_{3} = 3 \ \ x_{2} -r + x_{2} + x_{2} + r = 3x_{2} = 3 \ \ x_{2} = 1 \ \$

Temos então que:

$\ 1^{3} -3.1^{2} + 12.1 - 1 = 0 \ \ q = 10$

Sabendo que x2 = 1 e q = 10, temos:

$(x-1)(x^{2} -2x +10) = 0$

As raízes são:

$\ x_{1} = 1-3i \ \ x_{3} = 1+3i$

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