Questão 51842

UNICAMP 2008

Matemática

(UNICAMP - 2008 - 2 fase - Questão 3)

Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo.

a) Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que F₁ , F₂ e F₃indiquem, respectivamente, o número de palitos usados para produzir as figuras 1, 2 e 3, e que o número de fósforos utilizados para formar a figura n seja F_n . Calcule F₁₀ e escreva a expressão geral de F_n .

b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras.

Gabarito:

Resolução:

O número de quadrados de cada figura respeita uma progressão aritmética:

$B_{n} = (1,3,5, cdots)$

e o número de palitos de fósforo de cada figura são os termos de outra progressão dada por:

$F_{n} = (4,12,20, cdots)$ .

Assim, podemos partir para as questões.

$F_{n} = 4 + (n-1) cdot 8$

$F_{n} = 8n - 4$

Assim:

$F_{10} = 8 cdot 10 - 4 = 76$

b) $F_{50} = 8 cdot 50 - 4 = 396$

Calculando a soma dos 50 primeiros termos:

$S_{50} = frac{(F_{1} + F_{50}) cdot 50}{2}$

$S_{50} = frac{(4+396) cdot 50}{2} = 10.000$

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