Questão 51873

UNICAMP 2008

Matemática

(UNICAMP - 2008 - 2 fase - Questão 9)

Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se P^T = P^–1, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa.

a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. Dica: você pode usar o fato de que P^–1P = Ι, em que Ι é a matriz identidade.

$P=egin{bmatrix} -1/3 &-2/3 &-2/3 \ -2/3& a &-1/3 \ -2/3& b & 2/3 end{bmatrix}$

b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema Ax = b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que x = A^–1b.

$Q=egin{bmatrix} 1/2 &-1/2 &-sqrt2 /2\ 1/2& -1/2 &sqrt2 /2 \ sqrt2 /2& sqrt2 /2& 0 end{bmatrix}$ , $R=egin{bmatrix} 2 &0 &0\ 0& -2 &0 \ 0& 0 & sqrt2 end{bmatrix}$ , $b=egin{bmatrix} 6\ -2\ 0 end{bmatrix}$

Gabarito:

Resolução:

a) $P^{T} = P^{-1} Leftrightarrow P cdot P^{T} = P cdot P^{-1}$

$P cdot P^{T} = I$

Logo:

$large egin{bmatrix} -frac{1}{3} &-frac{2}{3} &-frac{2}{3} \ -frac{2}{3} & a & - frac{1}{3} \ -frac{2}{3} &b & frac{2} {3} end{bmatrix} cdot egin{bmatrix} -frac{1}{3} & -frac{2}{3} &-frac{2}{3} \ -frac{2}{3} &a &b \ -frac{2}{3}& -frac{1}{3} & frac{2}{3} end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 & 0 &0 \ 0& 1&0 \ 0&0 &1 end{bmatrix}$

$large egin{bmatrix} 1 & frac{4}{9} - frac{2a}{3} &-frac{2}{9}-frac{-2b}{3} \ frac{4}{9} - frac{2a}{3} &frac{5}{9}+a^{2} &frac{2}{9} +ab \ frac{6}{9} -frac{2b}{3} &frac{2}{9}+ab &frac{8}{9} +b^{2} end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 &0 &0 \ 0& 1 & 0\ 0& 0&1 end{bmatrix}$

$large left{egin{matrix} frac{4}{9}-frac{2a}{3}=0\ -frac{2}{9} -frac{2b}{3} = 0 end{matrix} ight.$

$a = frac{2}{3} e b = frac{1}{3}$

b) $A cdot x = b$

$Q cdot R cdot x = b$

$Q^{-1} cdot Q cdot R cdot x = Q^{-1} cdot b$

$I cdot R cdot x = Q^{-1} cdot b$

$R cdot x = Q^{-1} cdot b$

Q é ortogonal, logo $Q^{-1} = Q^{T}$ , assim:

$R cdot x = Q^{T} cdot b$

Seja $x = egin{bmatrix} x_{1}\ x_{2} \ x_{3} end{bmatrix}$ , tem-se que:

$egin{bmatrix} 2 &0 &0 \ 0& -2 & 0\ 0 &0 &sqrt{2} end{bmatrix} cdot egin{bmatrix} x_{1}\x_{2} \ x_{3} end{bmatrix} =$

$= egin{bmatrix} frac{1}{2} &frac{1}{2} &frac{sqrt{2}}{2} \ -frac{1}{2} &-frac{1}{2} &frac{sqrt{2}}{2} \ -frac{sqrt{2}}{2} & -frac{sqrt{2}}{2} & 0 end{bmatrix} cdot egin{bmatrix} 6\ -2 \ 0 end{bmatrix} ightarrow$

$ightarrow egin{bmatrix} 2x_{1}\ - 2x_{2} \ sqrt{2}x_{3} end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2\ -2 \ -4sqrt{2} end{bmatrix} ightarrow$

$Rightarrow left{egin{matrix} x_{1} = 1\ x_{2 } = 1 \ x_{3} = -4 end{matrix} ight.$

Portanto, $x = egin{bmatrix} 1\1 \ -4 end{bmatrix}$

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