Questão 51881

UNICAMP 2008

Matemática

(UNICAMP - 2008 - 2 fase - Questão 12)

As retas de equações y=ax+b e y=cx são ilustradas na figura abaixo. Sabendo que o coeficiente b é igual à média aritmética dos coeficientes a e c,

a) Expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em termos dos coeficientes a e b;

b) Determine a, b e c sabendo que a área do triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o triângulo OPQ tem área 1.

Gabarito:

Resolução:

Fazendo y = 0 na reta r:

$ax+b = 0 Rightarrow x = - frac{b}{a}$

Portanto:

$P = ( -frac{b}{a}, 0)$

Fazendo x= 0 :

$y = ax+b$

$y = b$

$Q = (0,b)$

Para encontrarmos o ponto R, igualamos as duas equações:

$ax+b = cx$

$cx - ax = b$

$x(c-a) = b$

$x = frac{b}{(c-a)}$

Do enunciado, temos que:

$b = frac{a+c}{2}$

$2b = a+c$

$c = 2b-a$

Substituindo teremos:

$x = frac{b}{(c-a)}$

$x = frac{b}{(2b-a-a)}$

$x = frac{b}{2a-2b}$

Substituindo x em qualquer uma das equações:

$y = cx$

$y = frac{(2b-a)b}{2b-2a}$

$R = (frac{b}{2b-2a}, frac{(2b-a)b}{2b-2a})$

De acordo com os dados do problema:

área de OPQ = 1
área de OPR = 2/3
área de ORQ = 1/3

Calculo da área de OPQ:

importante notar que a base do triângulo corresponde à coordenada x do ponto P e a altura à coordenada y do ponto Q:

$A = frac{bh}{2}$

$1 = frac{-frac{b}{a}cdot b}{2}$

$1 = frac{-b^{2}}{2a}$

$2a = -b^{2}$

$a = -frac{b^{2}}{2}$

Cálculo da área ORQ:

A base do triângulo corresponde à coordenada y do ponto Q e a altura corresponde à coordenada x do ponto R:

$A = frac{bh}{2}$

$frac{1}{3} = frac{frac{b}{(2b-2a)b}}{2}$

$3b^{2} = 4b - 4a$

Substituindo a primeira equação na segunda:

$3b^{2} = 4b-4a$

$3b^{2} = 4b - 4 cdot (-frac{b^{2}}{2})$

$3b^{2} = 4b + 2b^{2}$

$b^{2} - 4b = 0$

$b(b-4) = 0$

b = 0 ou b = 4.

Como a reta r corta o eixo y, temos b = 4:

$a = -frac{b^{2}}{2} Rightarrow a = -frac{16}{2} Rightarrow a = -8$

$c = 2b - a Rightarrow c = 2 cdot 4 - (-8) = 8+8 = 16$

Logo, os valores de a,b e c são -8, 4 e 16.

Questões relacionadas

Questão 5

(UNICAMP - 2008 - 1a fase - Questão 1) TEXTO 2 COLETÂNEA Os grandes problemas contemporâneos de saúde pública exigem a atuação eficiente do Estado...

Questão 6

(UNICAMP - 2008 - 1a fase - Questão 2) Responda às questões abaixo, tomando por base os dados fornecidos na tabela e na figura mostradas acima. a) Calcule a área t...

Questão 51839

(UNICAMP - 2008 - 2 fase - Questão 1) Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são assentados sobre uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma...

Questão 51841

(UNICAMP - 2008 - 2 fase - Questão 2) Uma passagem de ônibus de Campinas a São Paulo custa R$17,50. O preço da passagem é composto por R$ 12,57 de tarifa, R$ 0,...