Questão 15

UNICAMP 2012

Matemática

(UNICAMP - 2012 - 1ª FASE) Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor distância da Terra em muitos anos. As figuras abaixo ilustram a situação de maior afastamento e a de maior aproximação dos planetas, considerando que suas órbitas são circulares, que o raio da órbita terrestre (R_T) mede 1,5×10¹¹ m e que o raio da órbita de Júpiter (R_J) equivale a 7,5×10¹¹ m.

Quando o segmento de reta que liga Júpiter ao Sol faz um ângulo de 120º com o segmento de reta que liga a Terra ao Sol, a distância entre os dois planetas é de

$sqrt{R_{J}^{2}+R_{T}^{2}-R_{J}R_{T}sqrt{3}}$ .

$sqrt{R_{J}^{2}+R_{T}^{2}+R_{J}R_{T}sqrt{3}}$ .

$sqrt{R_{J}^{2}+R_{T}^{2}-R_{J}R_{T}}$ .

$sqrt{R_{J}^{2}+R_{T}^{2}+R_{J}R_{T}}$ .

Gabarito:

$sqrt{R_{J}^{2}+R_{T}^{2}+R_{J}R_{T}}$ .

Resolução:

Iremos esboçar na figura um triângulo entre a Terra, Júpiter e o Sol:

Queremos obter o segmento que irá unir Júpiter até a Terra indicado na figura como x (em azul).

Para isso vamos utilizar lei dos cossenos:

$x^{2}=R_{J}^{2}+R_{T}^{2}-2.R_{J}.R_{T}.cos120$

$x^{2}=R_{J}^{2}+R_{T}^{2}-2.R_{J}.R_{T}.frac{-1}{2}$

$x^{2}=R_{J}^{2}+R_{T}^{2}+R_{J}.R_{T}$

$x=sqrt{R_{J}^{2}+R_{T}^{2}+R_{J}.R_{T}}$

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