Questão 48575

UNICAMP 2012

Matemática

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 3)

O número áureo é uma constante real irracional, definida como a raiz positiva da equação quadrática obtida a partir de

a) Reescreva a equação acima como uma equação quadrática e determine o número áureo.

b) A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é conhecida como sequência de Fibonacci, cujo n-ésimo termo é definido recursivamente pela fórmula

Podemos aproximar o número áureo, dividindo um termo da sequência de Fibonacci pelo termo anterior. Calcule o 10º e o 11º termos dessa sequência e use-os para obter uma aproximação com uma casa decimal para o número áureo.

Gabarito:

Resolução:

$A)$ $frac{x+1}{x} = x$

$x+1= xcdot x$

$x^2 - x - 1$

Por Bhaskara temos:

$x = frac{1pm sqrt{left ( -1 ight )^2-4cdotleft ( -1 ight )}}{2}$

$x = frac{1pm sqrt{5}}{2}$

Como a razão é positiva

$x = frac{1+ sqrt{5}}{2}$

$B)$ Desenvolvendo a sequencia dada temos que:

$left{egin{matrix} F_{10}= 55\ F_{11}= 89 end{matrix} ight.$

Portanto a aproximação é igual a:

$frac{ 89}{55} =1,6$

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