Questão 48576

UNICAMP 2012

Matemática

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 4)

Uma curva em formato espiral, composta por arcos de circunferência, pode ser construída a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são semicircunferências que concordam sequencialmente nos pontos de transição, como ilustra a figura ao lado, na qual supomos que a distância entre A e B mede 1 cm.

a) Determine a área da região destacada na figura.

b) Determine o comprimento da curva composta pelos primeiros 20 arcos de circunferência.

Gabarito:

Resolução:

$A)$ Para calcular a area da figura, podemos separá-las em duas figuras mais simples, no caso as semi-circunferenciasa superior e inferior, com centros em A e B, respectivamente, assim como na imagem abaixo:

Portanto, temos que a area da figura é igual a :

$A = frac{pi left ( R_3^2 + R_4^2 ight )}{2}$

Pela figura temos que,

$left{egin{matrix} R_2 = 2R_1\ R_3 = R_2 + R_1\ R_4 = R_3+R_1 end{matrix} ight.$

Com essas informações temos que, $R_3 = 3 R_1$ e $R_4 = 4 R_1$ , portanto:

$A = frac{pi left ( left ( 3R_1 ight )^2 + left ( 4R_1 ight )^2 ight )}{2}$

$A = frac{pi 25R_1^2}{2}$

$A =frac{ 25pi}{2}$

$B)$ Podemos notar pelo padrão do item anterior que $R_n = n R_1 = n$ , portanto a soma dos $20$ primeiros comprimentos de arco, ou semicircunferencia, é igual a:

$P = frac{2pileft ( 1+2+3+cdots +20 ight )}{2}$

$P = picdotfrac{left ( n_f+n_0 ight )cdot N_{termos}}{2}$

$P = picdotfrac{ 21cdot20}{2}$

$P =210pi$

Questões relacionadas

Questão 10

(UNICAMP - 2012 - 1ª FASE) Para construir uma curva “floco de neve”, divide-se um segmento de reta (Figura 1) em três partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rot...

Ver questão

Questão 7267

(UNICAMP - 2012 - 1ª FASE) A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é

Ver questão

Questão 7641

(UNICAMP - 2012 - 1ª FASE) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu-se formar uma c...

Ver questão

Questão 9

(UNICAMP - 2012 - 1ª FASE) As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso para a bagagem de cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de excesso de peso. Quando dois p...

Ver questão