Questão 48577

UNICAMP 2012

Matemática

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 5)

Um brilhante é um diamante com uma lapidação particular, que torna essa gema a mais apreciada dentre todas as pedras preciosas.

a) Em gemologia, um quilate é uma medida de massa, que corresponde a 200 mg. Considerando que a massa específica do diamante é de aproximadamente 3,5 g/cm³, determine o volume de um brilhante com 0,7 quilate.

b) A figura ao lado apresenta a seção transversal de um brilhante. Como é muito difícil calcular o volume exato da pedra lapidada, podemos aproximá-lo pela soma do volume de um tronco de cone (parte superior) com o de um cone (parte inferior). Determine, nesse caso, o volume aproximado do brilhante.

Dica: o volume de um tronco de cone pode ser obtido empregando-se a fórmula

em que R e r são os raios das bases e h é a altura do tronco.

Gabarito:

Resolução:

$A)$ $denscdot Volume = Massa$

$denscdot Volume = frac{Massa}{quilate}cdot N_{quilates}$

$3,5 cdot V = 0,2 cdot 0,7$

$V = frac{0,14}{3,5} ightarrow V = 0,04 cm^3$

$B)$ Para calcular o volume calculemos separadamente o volume do cone e do tronco:

$left{egin{matrix} V_{cone} = frac{pi R^2cdot H}{3}\ \ V_{tronco}= frac{pi H cdot left ( R^2 + Rr + r^2 ight )}{3} end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} V_{cone} = frac{picdot 2^2cdot 1,8 }{3} = 2,4pi\ \ V_{tronco}= frac{picdot 0,6 cdot left ( 2^2 + 2cdot1 + 1^2 ight )}{3} = 1,4pi end{matrix} ight.$

Portanto, o volume total é igual a $3,8pi$ mm³.

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