Questão 48593

UNICAMP 2012

Matemática

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 11)

Um círculo de raio 2 foi apoiado sobre as retas y = 2x e y = −x / 2, conforme mostra a figura abaixo.

a) Determine as coordenadas do ponto de tangência entre o círculo e a reta y = −x / 2.

b) Determine a equação da reta que passa pela origem e pelo ponto C, centro do círculo.

Gabarito:

Resolução:

$A)$ Os pontos de tangencia, a origem e o centro da circunferencia formam um quadrado, disso tiramos que sendo $(x,y)$ as coordenadas do ponto de tangencia, a distancia desse ponto a origem mede $R$ , logo:

$left{egin{matrix} x^2 + y^2 = R^2 \ 2y = -xend{matrix} ight.$

Utilizando a segunda equação na primeira, temos:

$5y^2 = 4 ightarrow y =pm frac{2sqrt5}{5}$ , como o ponto pertence ao primeiro quadrante,

$y =frac{2sqrt5}{5} ightarrow x =- frac{4sqrt5}{5}$

$B)$ Para descobrir a reta que passar por $C$ e pela origem, podemos utilizar o fato que o angulo $alpha$ que ela faz igual ao angulo $eta$ feito por $y = 2x$ mais $45^{circ}$

$tgalpha = frac{tgeta + tg heta}{1-tgetacdot tg heta}$

$a = frac{1+2}{1-1cdot2} = - 3$

$r : y = -3x + c$ , como a reta passa pela origem também $c=0$

$r : y = -3x$

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