Questão 45

UNICAMP 2013

Matemática

(UNICAMP - 2013 - 1 FASE) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ?

12 cm.

15 cm.

16 cm.

18 cm.

Gabarito:

15 cm.

Resolução:

Sabemos que pelo enunciado:

$BH+PH=6 (I)$

E pelo desenho podemos assumir que:

$BG=AG$ e como o enunciado nos informou que AB=3 cm logo $BG=AG =1,5cm$

Agora vamos fazer analisar algumas semelhanças de triângulo:

Perceba que o Triângulo PFQ é semelhante ao triângulo AGF com isso vamos analisar os seguintes segmentos:

$frac{BG}{BH}=frac{PQ}{PH}Rightarrow frac{1,5}{BH}= frac{3}{PH}Rightarrow PH=2BH (II)$

Agora substituindo (I) na (II) temos

$PH=2BHRightarrow PH=2(6-PH)Rightarrow PH=12-2PHRightarrow PH=4cm$

E com isso

$BH=2cm$

Agora analisando o Triângulo PFQ temos:

$PF^2=FQ^2+QP^2Rightarrow PF^2=4^2+3^2Rightarrow PF =5cm$

Por simetria podemos definir que HQ também será 5cm pois HQ =PF

$HQ=5cm$

Agora vamos olhar o triângulo FGA temos:

$FG^2=GA^2+AF^2 Rightarrow FG^2=1,5^2+2^2Rightarrow FG=2,5 cm$

Pela mesma simetria o lado GH terá o mesmo valor:

$GH=2,5cm$

ENtão somando todos esses valores temos:

$PF+FG+GH+HQ=5+2,5+2,5+5=15cm$

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