Questão 14

UNICAMP 2013

Matemática

(UNICAMP - 2013 - 2 fase - Questão 14)

Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas: $overline{AB} = 20, overline{BC}=15$ e $overline{AC}=10.$

a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que $overline{BD}=3$ e traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC, Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H.

b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC

Gabarito:

Resolução:

$A)$ Traçando e desenho os pontos e retas ditos pela questão , temos:

Por conta da semelhança entre os triangulos $Delta BDE$ e $Delta BCA$ , temos que a razão entre as alturas é igual a razão entre os lados:

$frac{H}{h} = frac{overline{BC}}{overline{BD}}$

$frac{3}{h} = frac{15}{3} =5$

$B)$ Pela formula de Heron, temos que :

$A_{ABC} = frac{sqrt{(20+15+10)(20+15-10)(20-15+10)(-20+15+10)}}{4}$

$A_{ABC} = frac{sqrt{45cdot25cdot15cdot5}}{4}$

$A_{ABC} = frac{75sqrt15}{4}$

Mas sabemos também que :

$A_{ABC} = frac{overline{AC}cdot H}{2} = 5cdot H$

Portanto,

$5cdot H = frac{75sqrt15}{4} ightarrow H = frac{15sqrt15}{4}$

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