Questão 15

UNICAMP 2013

Matemática

(UNICAMP - 2013 - 2 fase - Questão 15)

A superfície de um reservatório de água para abastecimento público tem 320.000 m² de área, formato retangular e um dos seus lados mede o dobro do outro. Essa superfície é representada pela região hachurada na ilustração abaixo. De acordo com o Código Florestal, é necessário manter ao redor do reservatório uma faixa de terra livre, denominada Área de Proteção Permanente (APP), como ilustra a figura abaixo.Essa faixa deve ter largura constante e igual a 100m, medidos a partir da borda do reservatório.

a) Calcule a área da faixa de terra denominada APP nesse caso.

b) Suponha que a água do reservatório diminui de acordo com a expressão $V(t)=V_{0} cdot 2^{-t}$ em que V₀ é o volume inicial e t é o tempo decorrido em meses. Qual é o tempo necessário para que o volume se reduza a 10% do volume inicial? Utilize, se ncessário, $log_{10}2approx 0,30$

Gabarito:

Resolução:

$A)$ Area do APP é formado por quatro quartos de circunferencia e por uma faixa cuja altura vale $100$ e a base são os lados do retangulo, portanto para calcular a area precisamos primeiro calcular o valor dos lados do retangulo, para isso utilizemos os fatos de que um lado mede o dobro do outro e o valor fornecido para sua area para chegar na seguinte expressão:

$2l^2 = 320000$

$l^2 = 160000 ightarrow l = 400$

Portanto, temos que a area do APP vale:

$A = 4cdot frac{picdot100^2}{4} + 100cdot{ 2 (l+2cdot l)}$

$A = 4cdot frac{picdot100^2}{4} + 100cdot{ 2 (400+2cdot400)}$

$A = 10000cdotpi + 100cdot{ 2400} ightarrow A = 240000 + 10000pi$

$B)$ O volume final ser igual a $10\%$ do inicial significa que :

$V(t) = V_0 cdot 0,1 ightarrow 2 ^{-t }= 0,1$

$t = -log_2 0,1 = log_2 10$

$t =frac{1}{log2} = frac{1}{0,3}$

$t = 3,33cdots$

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