Questão 22

UNICAMP 2013

Matemática

(UNICAMP - 2013 - 2 fase - Questão 22)

Considere a matriz $A_{alpha}=egin{bmatrix} 1 & alpha\ -frac{1}{alpha}& -1 end{bmatrix}$ que depende do parâmetro real $alpha > 0$ .

a) Calcule a matriz $(A_{alpha}+A_{2alpha})^{2}$ .

b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas $egin{bmatrix} x\y end{bmatrix}$ é transformado pela matriz $A_{alpha}$

em um novo ponto da seguinte forma:

Calcule o valor de $alpha$ , sabendo que o sistema $A_{alpha}egin{bmatrix} x\y end{bmatrix} = egin{bmatrix} -6\2 end{bmatrix}$ admite solução.

Gabarito:

Resolução:

$A)$ $A_{alpha} + A_{2alpha} = egin{pmatrix} 2 & 3alpha\ -frac{3}{2alpha} & -2 end{pmatrix}$

$(A_{alpha} + A_{2alpha})^2 = egin{pmatrix} 2 & 3alpha\ -frac{3}{2alpha} & -2 end{pmatrix}^2$

$(A_{alpha} + A_{2alpha})^2 = egin{pmatrix} 4 -frac{9alpha}{2alpha} & 6alpha -6alpha\ -frac{6}{2alpha} + frac{6}{2alpha} & -frac{9alpha}{2alpha} + 4 end{pmatrix}$

$(A_{alpha} + A_{2alpha})^2 = egin{pmatrix} -frac{1}{2} & 0\ 0 & -frac{1}{2} end{pmatrix}$

$B)$ Pelo que nos foi fornecido pelo enunciado temos que :

$left{egin{matrix} x +alpha y =-6\ -frac{x}{alpha}-y = 2 end{matrix} ight.$

Multiplicando a equação de baixo por $alpha$ e somando com a primeira, ficamos com:

$6 = 2alpha ightarrow alpha = 3$

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