Questão 47

UNICAMP 2016

Matemática

(UNICAMP - 2016 - 1ª FASE) Seja (a,b,c) uma progressão geométrica de números reais com a ≠ 0 . Definindo s = a+b+c , o menor valor possível para s/ a é igual a

1/2.

2/3.

3/4.

4/5.

Gabarito:

3/4.

Resolução:

$(i);;(a,;b,;c) ightarrow PG;;Rightarrow;;b=aq,;c=aq^2,$ onde q é a razão da PG;

$(ii);;s=a+b+c;;Rightarrow;;s=acdot (1+q+q^2);;Rightarrow;;s/a=q^2+q+1;$
Veja que: $s/a=f(q)=q^2+q+1.$ Para atingir o mínimo de s/a, basta atingir o mínimo de f(q), ou seja, encontrar o vértice da função.
Você pode fazer isso tanto calculando o $X_V$ ou o $Y_V$ do par $(X_V,Y_V)$ vértice da função.

$(i) X_V=dfrac{-b}{2a}=dfrac{-1}{2}Rightarrow(dfrac{s}{a})_{min}=f(X_V)=f(dfrac{-1}{2})=dfrac{1}{4}-dfrac{1}{2}+1=dfrac{3}{4}, ;ou$

$(ii) Y_V=dfrac{-Delta}{4a}=dfrac{4ac-b^2}{4a}=dfrac{4-1}{4}=dfrac{3}{4}$

Portanto, o menor valor possível para s/a é 3/4.

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