Questão 9

UNICAMP 2016

Matemática

(UNICAMP - 2016 - 2 fase - Questão 9)

Considere o triângulo exibido na figura abaixo, com lados de comprimentos $a$ , $b$ e $c$ e ângulos $alpha$ , $eta$ e $gamma$ .

a) Suponha que a sequência ( $alpha,eta,gamma$ ) é uma progressão aritmética (PA). Determine a medida do ângulo $eta$ .

b) Suponha que a sequência ( $a,b,c$ ) é uma progressão geométrica (PG) de razão $q=sqrt{2}$ . Determine o valor de tan $eta$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Se a sequência $(alpha ,eta ,gamma )$ é uma progressão aritmética, podemos reescrevê-la como:

$(eta - q ,eta ,eta + q )$

Logo, a soma dos ângulos internos deste triângulo é:

$3eta=180$
$eta=60$

Se a sequência $(a, b , c)$ é uma progressão geométrica de razão $sqrt{2}$ , podemos reescrevê-la como:

$(frac{b}{sqrt{2}} ,b ,b sqrt{2})$

Utilizando a lei dos cossenos:

$b^2=frac{b^2}{2}+2b^2 - 2frac{b}{sqrt{2}}cdot sqrt{2}bcdot cos(eta)$

$b^2=frac{b^2}{2}+2b^2 - 2b^2 cos(eta)$

$2b^2 cos(eta)=frac{b^2}{2}+2b^2-b^2$

$2b^2 cos(eta)=frac{3b^2}{2}$

$cos(eta)=frac{3b^2}{2cdot 2b^2}$

$cos(eta)=frac{3}{4}$

Utilizando o princípio fundamental da trigonometria:

$sen^2(eta)+cos^2(eta)=1$

$sen^2(eta)+frac{3}{4}^2=1$

$sen^2(eta)+frac{9}{16}=1$

$sen^2(eta)=frac{7}{16}$

$sen(eta)=frac{sqrt{7}}{4}$

Queremos encontrar $tg(eta)$ :

$tg(eta)=frac{sen(eta)}{cos(eta)}$

$tg(eta)=frac{frac{sqrt{7}}{4}}{frac{3}{4}}$

$tg(eta)=frac{sqrt{7}}{3}$

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