Questão 11

UNICAMP 2016

Matemática

(UNICAMP - 2016 - 2 fase - Questão 11)

Considere os três sólidos exibidos na figura abaixo, um cubo e dois paralelepípedos retângulos, em que os comprimentos das arestas, 𝑎 e 𝑏, são tais que 𝑎 > 𝑏 > 0.

a) Determine a razão 𝑟 = 𝑎/𝑏 para a qual o volume de 𝑆₁ é igual à soma dos volumes de 𝑆₂ e 𝑆₃ .

b) Sabendo que a soma dos comprimentos de todas as arestas dos três sólidos é igual a 60 𝑐𝑚, determine a soma das áreas de superfície dos três sólidos.

Gabarito:

Resolução:

a) Volume do sólido 1: $a^3$

Volume do sólido 2: $a^2b$

Volume do sólido 3: $ab^2$

$a^3=a^2b+ab^2$

Dividindo toda a equação por $ab^2$ , com o objetivo de encontrar uma razão $a/b$ :

$frac{a^3}{ab^2}=frac{a^2b+ab^2}{ab^2}$

$frac{a^2}{b^2}=frac{a}{b}+1$

Queremos encontrar $r=frac{a}{b}$ :

$r^2=r+1$

$r^2-r-1=0$

$r_1=frac{1+sqrt{5}}{2}$

$r_2=frac{1-sqrt{5}}{2}$

Apenas $r_1$ é raiz positiva, então é esta a razão.

b) O sólido 1 possui 12 arestas $a$ , o sólido 2 possui 8 arestas $a$ e 4 arestas $b$ e o sólido 3 possui 4 arestas $a$ e 8 arestas $b$ .

$24a+12b=60$

$2a+b=5$

A área da superfície dos sólidos é dada por:

Sólido 1:

$A_1=6a^2$

Sólido 2:

$A_2=2a^2+4ab$

Sólido 3:

$A_3=2b^2+4ab$

$A_1 + A_2 + A_3 = 6a^2 + 2a^2 + 4ab + 2b^2 + 4ab$

$A_1 + A_2 + A_3 = 8a^2 + 8ab + 2b^2$

$A_1 + A_2 + A_3 = 2(4a^2 + 4ab + b^2)$

$A_1 + A_2 + A_3 = 2(2a+b)^2$

Lembrando que 2a+b=5

$A_1 + A_2 + A_3 = 2(5)^2$

$A_1 + A_2 + A_3 = 50cm^2$

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