Questão 12
UNICAMP 2016
(UNICAMP - 2016 - 2 fase - Questão 12)
Considere o polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 𝑎, onde 𝑎 é um número real.
a) No caso em que 𝑝(1) = 0, determine os valores de 𝑥 para os quais a matriz 𝐴 abaixo não é invertível.
b) Seja 𝑏 um número real não nulo e 𝑖 a unidade imaginária, isto é, 𝑖2 = −1. Se o número complexo 𝑧 = 2 + 𝑏𝑖 é uma raiz de 𝑝(𝑥), determine o valor de |𝑧|.
Gabarito:
Resolução:
a) A matriz é inversível se o seu determinante é diferente de 0. Para determinarmos onde não é inversível, precisamos de:
Como sabemos que 1 é raiz deste polinômio, ele é divisível por (x-1). Assim encontramos que a=2, pois o resto da divisão deve ser 0, e que:
Assim, as raizes deste polinômio serão 1 e as raizes de , que são -2 e 1.
Logo, a matriz A não é inversível para x = 1 ou x = -2.
b) Toda vez que um número complexo é raiz de um polinômio, seu conjugado também será. Então as raizes de p(x) neste caso serão ,
e
.
Utilizando relações de Girard, a soma das raizes será 0.
Como sabemos que -4 é raiz, p(-4)=0
Assim, o polinômio é
Usando o produto das raizes por Girard:
Das propriedades de números complexos,