Questão 56238

UNICAMP 2016

Matemática

(UNICAMP – 2016) A figura abaixo exibe um quadrilátero ABCD, onde AB = AD e BC = CD = 2 cm. A área do quadrilátero ABCD é igual a

Gabarito:

Resolução:

A figura é:

Nos é dito que AB = AD e BC = CD = 2 cm.

O desenho acima é obtido a partir do desenho de dois segmentos de reta (de cor vermelha), um horizontal conectando os pontos A e C e outro vertical conectando os pontos B e D. Repare que estes dois segmentos são perpendiculares entre si e se intersectam no ponto O.

Como queremos a área desse quadrilátero pode ser obtida a partir da soma das áreas dos 4 triângulos obtidos na figura acima, BCO, OCD, AOD e BOA. Repare que estes 4 triângulos são todos retângulos de ângulo reto no vértice O.

As áreas de BOA e AOD são iguais entre si dado que estes dois triângulos são congruentes. Mas repare também que a soma das áreas destes dois triângulos é igual a área do triângulo maior BDA, certo? Então, como queremos fazer a soma das áreas BOA e AOD nós só precisamos calcular a área de BDA que é mais fácil: como BDA é um triângulo retângulo, então é só multiplicar os catetos entre si:

Áreas BOA + AOD = Área BDA = L . L / 2 = L²/2.

Já a soma das áreas de BCO e OCD pode ser obtida pelo cálculo da área do triângulo BCD: o triângulo BCD é a união dos triângulos BCO e OCD (isto é similar ao que fizermos acima). Repare que, por Pitágoras no triângulo BDA, nós obtemos que o segmento BD é L√2. Logo, daí já obtemos a base do triângulo BCD e só precisamos achar a altura desse triângulo que seria o segmento OC.

Para isto repare que os triângulos BCA e ACD são congruentes: possuem todos lados iguais entre si. Isto implica que os segmentos BO e OD, que são as alturas desses dois triângulos, devem ser iguais entre si. Como BD = L√2 e BO + OD = BD e BO = OD, então BO = OD = L√2/2.

Assim, podemos fazer Pitágoras no triângulo BCO para obtermos o valor do segmento OC que é a altura desejada do triângulo BCD:

BO² + OC² = BC² => OC² = 2² - (L√2/2)² = 4 - 2L²/4 = 4 - L²/2 = (8 - L²)/2 => OC = $sqrt{frac{8 - L^{2}}{2}}$ .

Logo, as Áreas BCO + OCD = Área BCD = BD . OC / 2 = $frac{Lsqrt{2}cdotsqrt{frac{8 - L^2}{2}}}{2}=frac{L}{2}cdotsqrt{8-L^2}$ .

Assim, a área do quadrilátero ABCD é igual à soma das áreas obtidas acima:

Área ABCD = Área BDA + Área BCD = $frac{L^2}{2}+frac{L}{2}cdotsqrt{8-L^2}=frac{L}{2}cdotleft(L+sqrt{8-L^2} ight )$ .

Mas e quem é L?

L pode ser obtido fazendo uma Lei dos Cossenos no triângulo BCD através do ângulo 45°:

$BD^2=BC^2+DC^2-2cdot BCcdot DCcdot cosleft(45^{circ} ight )Rightarrow$

$Rightarrow left(Lsqrt{2} ight )^2=2^2+2^2-2cdot2cdot2frac{sqrt{2}}{2}Rightarrow 2L^2=8-4sqrt{2}Rightarrow L=sqrt{4-2sqrt{2}}$

Assim, substituindo isso que obtivemos na equação acima:

Área ABCD = $frac{L}{2}cdotleft(L+sqrt{8-L^2} ight )=frac{sqrt{4-2sqrt{2}}}{2}cdotleft(sqrt{4-2sqrt{2}}+sqrt{8-4+2sqrt{2}} ight )Rightarrow$

=> Área ABCD = $frac{sqrt{4-2sqrt{2}}}{2}cdotleft(sqrt{4-2sqrt{2}}+sqrt{4+2sqrt{2}} ight )=frac{1}{2}cdotleft(4-2sqrt{2}+sqrt{4^2-left(2sqrt{2} ight )^2} ight )Rightarrow$

=> Área ABCD = $frac{1}{2}cdotleft(4-2sqrt{2}+sqrt{16-8} ight )=frac{1}{2}cdotleft(4-2sqrt{2}+2sqrt{2} ight )=frac{4}{2}=2$ .

Questão 56238

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