Questão 8

UNICAMP 2023

Matemática

(UNICAMP - 2023 - 2ª fase)

Considere a função real $f(x)= cos (2x) - 2 sen(x)$ , definida para $x epsilon [0,2pi ]$ .

a) Calcule $f left (frac{pi}{4} ight )$ .

b) Encontre todos os valores de $x epsilon [0,2pi ]$ tais que $f(x)= -1/2$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Para determinar $f left (frac{pi}{4} ight )$ basta substituir $frac{pi}{4}$ na lei da função:

$f(x)= cos (2x) - 2 sen(x)$

$fleft ( frac{pi }{4} ight )= cos left ( 2cdot frac{pi }{4} ight ) - 2 sen left (frac{pi }{4} ight )$

$fleft ( frac{pi }{4} ight )= cos left ( frac{pi }{2} ight ) - 2 sen left (frac{pi }{4} ight )$

$fleft ( frac{pi }{4} ight )= 0 - 2cdot frac{sqrt{2} }{2}$

$fleft ( frac{pi }{4} ight )= - sqrt{2}$

Por tanto, $fleft ( frac{pi }{4} ight )= - sqrt{2}$ .

b) Como $f(x)= -1/2$ , então

$-frac{1}{2}= cos (2x) - 2 sen(x)$

Aplicando o cosseno do arco duplo:

$1-2sen^2(x)-2sen(x)=-frac{1}{2}$

$2sen^2(x)+2sen(x)-frac{3}{2}=0$

Substituindo $sen(x)=t$ temos a equação do segundo grau:

$2t^2+2t-frac{3}{2}=0$

$4t^2+4t-3=0$

Aplicando a formula resolutiva:

$t=frac{-4pm sqrt{4^2-4cdot 4cdot (-3)}}{2cdot 4}$

$t=frac{-4pm sqrt{16+48)}}{8}$

$t=frac{-4pm 8}{8}$

$t_1=frac{-4+ 8}{8}=frac{1}{2}$

$t_2=frac{-4- 8}{8}=-frac{31}{2}$

Retornando a variavel original:

$sen(x)=frac{1}{2}$ ou $sen(x)=-frac{3}{2}$

Como $left |-frac{3}{2} ight |>left |1 ight |$ então essa solução não convem.

Para $sen(x)=frac{1}{2}$ , temos que $x=frac{pi }{6}$ ou $x=frac{5pi }{6}$ para a primeira volta do ciclo trigonométrico.

Por tanto, a solução para $f(x)= -1/2$ , dado que $x epsilon [0,2pi ]$ é $S=left { frac{pi }{6},frac{5pi }{6} ight }$

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