Questão 10

UNICAMP 2024

Matemática

(UNICAMP - 2024)

Laura é geóloga e está fazendo pesquisa numa caverna cuja entrada tem o formato de uma parábola invertida. Essa entrada, no nível do chão, tem 2m de largura e seu ponto mais alto está a 2,5m do chão, conforme figura a seguir.

Para realizar sua pesquisa, ela precisa entrar na caverna com um equipamento guardado em uma caixa de 1m de largura. Qual é a altura máxima, em metros, que a caixa pode ter para passar pela entrada da caverna?

11/8.

13/8.

15/8.

17/8.

Gabarito:

15/8.

Resolução:

Podemos perceber que o vértice da parábola será com as coordendas (1, 5/2). Além disso, como a caixa do equipamento tem 1 m , então temos o seguinte:

Veja que podemos achar a função da parábola acima:

$f(x) = a(x-x_{1}) (x - x_{2})$

$f(x) = a(x- 0) (x - 2) = ax(x-2) = ax^{2} -2a$

Usando o ponto (vértice), podemos encontrar a:

$\ frac{5}{2} = a.1 -2.a = -a \ \ a = - frac{5}{2}$

Então, temos que função da parábola acima é:

$f(x) = frac{-5}{2} x(x-2)= frac{-5}{2}x^{2} + 5x$ (II)

Agora veja que a caixa tem 1 m de largura, como o meio da caixa está no ponto x = 1. Então teremos 0,5 para frente do A e 0,5 antes do A.

Portanto, sabemos que os pontos serão:

C1 = (1/2, y)

C2 = (3/2, y)

Voltando na equação II, temos:

$f(x) = frac{-5}{2}x^{2} + 5x$

Utilizando um dos pontos do extremos da caixa (C1 ou C2), podemos encontrar y:

$y = frac{-5}{2}.frac{1}{2}^{2} + 5.frac{1}{2}$

$y = frac{15}{8}$

Gabarito: C

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