FUVEST 2006

Questão 51552

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )  Seja S o conjunto dos números naturais cuja representação decimal é formada apenas pelos algarismos 0, 1, 2, 3 e 4.
a) Seja x =  um número de dez algarismos pertencente a S, cujos dois últimos algarismos têm igual probabilidade de assumir qualquer valor inteiro de 0 a 4. Qual a probabilidade de que x seja divisível por 15?
b) Quantos números menores que um bilhão e múltiplos de quatro pertencem ao conjunto S?

Questão 51553

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE ) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de aproximadamente m. Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, indo tocar o muro paralelo à parede, conforme ilustração ao lado. Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45º com a horizontal. Pergunta-se:

a) Qual é a distância entre a parede da casa e o muro?
b) Qual é o comprimento da escada de Roberto?

Questão 51554

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )  A concentração de CO₂  na atmosfera vem sendo medida, desde 1958, pelo Observatório de Mauna Loa, no Havaí. Os dados coletados mostram que, nos últimos anos, essa concentração aumentou, em média, 0,5% por ano. É razoável supor que essa taxa anual de crescimento da concentração de CO₂  irá se manter constante nos próximos anos.

a) Escreva uma função C(t) que represente a concentração de CO₂  na atmosfera em relação ao tempo t, dado em anos. Considere como instante inicial — ou seja, aquele em que t = 0 — o ano de 2004, no qual foi observada uma concentração de 377,4 ppm de CO₂  na atmosfera.
b) Determine aproximadamente em que ano a concentração de CO₂  na atmosfera será 50% superior àquela observada em 2004. Se necessário, use ,  e  .

Questão 51555

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE ) Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de cone circular reto, com bases paralelas. As aberturas do abajur têm 25 cm e 50 cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede 30 cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo.

a) Determine os raios dos arcos que devem ser demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele que foi danificado.
b) Calcule a área da região a ser demarcada sobre o tecido que revestirá o abajur.

Questão 51556

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )  De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma régua de 2m de comprimento. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60º, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 75º. Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6m do nível da base da escarpa, responda às questões abaixo.

a) Qual a distância horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa?
b) Qual a altura da escarpa?

Questão 51557

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )  Sejam dados: a matriz  , o vetor  e o vetor

a) Encontre o conjunto solução da equação det(A) = 0 .
b) Utilizando o maior valor de x que você encontrou no item (a), determine o valor de m para que o sistema linear Ay = b tenha infinitas soluções.

Questão 51558

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE )  Sabe-se que a reta r(x) = mx + 2 intercepta o gráfico da função y = |x| em dois pontos distintos, A e B.

a) Determine os possíveis valores para m.
b) Se O é a origem dos eixos cartesianos, encontre o valor de m que faz com que a área do triângulo OAB seja mínima. 

Questão 51559

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE ) Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que = 6 cm, = 8 cm e = 10 cm. Os segmentos , e  também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados , e , respectivamente.

a) Calcule os comprimentos dos segmentos .
b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de vértices D, E e F

Questão 51560

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE ) As três raízes da equação x³  – 3x²  + 12x – q = 0, onde q é um parâmetro real, formam uma progressão aritmética.
a) Determine q.
b) Utilizando o valor de q determinado no item (a), encontre as raízes (reais e complexas) da equação.

Questão 51563

(UNICAMP - 2006 - 2 FASE ) Leia o texto abaixo e responda à questão.

O texto faz, ao mesmo tempo, uma denúncia e um alerta.
a) Qual é a denúncia?
b) Qual é o alerta?