FUVEST 2014

Questão 36331

(FUVEST 2014 - 2ª FASE) Um estudante construiu um microscópio ótico digital usando uma webcam, da qual ele removeu a lente original. Ele preparou um tubo adaptador e fixou uma lente convergente, de distância focal f = 50 mm, a uma distância d = 175 mm do sensor de imagem da webcam, como visto na figura abaixo.

No manual da webcam, ele descobriu que seu sensor de imagem tem dimensão total útil de 6 x 6 mm², com 500 x 500 pixels. Com estas informações, determine

a) as dimensões do espaço ocupado por cada pixel;

b) a distância L entre a lente e um objeto, para que este fique focalizado no sensor;

c) o diâmetro máximo D que uma pequena esfera pode ter, para que esteja integralmente dentro do campo visual do microscópio, quando focalizada.

Note e adote:
Pixel é a menor componente de uma imagem digital.
Para todos os cálculos, desconsidere a espessura da lente.

Questão 36397

A pizza é, sem dúvida, o alimento preferido de muitos paulistas. Estima-se que o consumo diário no Brasil seja de 1,5 milhão de pizzas, sendo o Estado de São Paulo responsável por 53% desse consumo. O gráfico abaixo exibe a preferência do consumidor paulista em relação aos tipos de pizza.

Questão 36398

O peso médio (média aritmética dos pesos) dos 100 alunos de uma academia de ginástica é igual a 75 kg. O peso médio dos homens é 90 kg e o das mulheres é 65 kg.

Questão 36399

O consumo mensal de água nas residências de uma pequena cidade é cobrado como se descreve a seguir. Para um consumo mensal de até 10 metros cúbicos, o preço é fixo e igual a 20 reais. Para um consumo superior, o preço é de 20 reais acrescidos de 4 reais por metro cúbico consumido acima dos 10 metros cúbicos. Considere c(x) a função que associa o gasto mensal com o consumo de x metros cúbicos de água.

Questão 36400

Uma loteria sorteia três números distintos entre doze números possíveis.

Questão 36401

Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento de 1 cm e um lado com comprimento de x cm.

b) Mostre que a medida do ângulo  é inferior a 150º.

Questão 36403

Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x) = x² + ax + b , definidas para todo x real.

Questão 36404

Dizemos que uma sequência de números reais não nulos (a₁, a₂, a₃ ,a₄...) é uma progressão harmônica se a sequência dos inversos (1/a₁, 1/a₂, 1/a₃ ,1/a₄...) é uma progressão aritmética (PA).

Questão 36406

A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa pela função h(t) = 0,5 + log₃(t + 1), onde o tempo t  0 é dado em anos.

a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m?

b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta g(t) = h(3t + 2). Verifique que a diferença g(t) - h(t) é uma constante, isto é, não depende de t.

Questão 36407

Considere a matriz , onde a e b são números reais.

a) Encontre os valores de a e b de modo que A^T = -A.

b) Dados a = 1 e b = -1, para que valores de c e d o sistema linear  tem infinitas soluções?