FUVEST 2014

Questão 36248

(Fuvest 2014 - 2ª fase)

Dados  e ݊ inteiros, considere a função ݂ definida por

para 

a) No caso em que , mostre que a igualdade  se verifica.

b) No caso em que , ache as interseções do gráfico de  com os eixos coordenados.

c) No caso em que , esboce a parte do gráfico de  em que , levando em conta as informações obtidas nos itens a) e b). Utilize o par de eixos dado na página de de respostas (imagem abaixo).

d) Existe um par de inteiros  tal que a condição  continue sendo satisfeita?

Questão 36249

(Fuvest 2014 - 2ª fase)

Considere a circunferência  de equação cartesiana  e a parábola  de equação 

a) Determine os pontos pertencentes à interseção de  com .

b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas (imagem abaixo), a circunferência  e a parábola . Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos  que satisfazem, simultaneamente, as inequações  e 

Questão 36250

(Fuvest 2014 - 2ª fase)

Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x) = x³ + ax² + bx + c são reais. Sabendo que –1 e 1 + i, com  > 0, são raízes da equação p(x) = 0 e que o resto da divisão de p(x) por (x – 1) é 8, determine

a) o valor de ;

b) o quociente de p(x) por (x + 1).

Questão 36251

(Fuvest 2014 - 2ª fase) Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura ao lado. A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento , e o ângulo agudo formado por  e L mede 60º. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo  com o segmento  e o mesmo ângulo agudo  com o lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente de  e o senho de .

Questão 36252

(Fuvest 2014 - 2ª fase) Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de mesma corsão idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou‐se uma balança de dois pratos. Verificou‐se que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado por:

i) 16 bolas brancas idênticas às que estão no recipiente ou
ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou
iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas.

Sendo   e , respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na mesma unidade de medida, determine

a) os quocientes   e ;

b) o número  de bolas azuis e o número  e bolas brancas no recipiente.

Questão 36253

(Fuvest - 2014 - 2 FASE)

Considere o triângulo equilátero  de lado 7 cm.

a) Sendo  o ponto médio do segmento , e  o ponto simétrico de  em relação à reta determinada por  e , determine o comprimento de .

b) Repetido a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo , pode-se obter o triângulo  tal que  é o ponto médio do segmento , e  e o ponto simétrico de  em relação à reta determinada por  e . Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém-se o triângulo . Assim, sucessivamente, pode-se construir uma sequência de triângulos  tais que, para todo ,  é o ponto médio de , e , o ponto simétrico de  em relação à reta determinada por  e , conforme figura ao lado.

Denotando por , para , o comprimento do segmento , verifique que  é uma progressão geométrica. Determine sua razão.

c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal 

O ponto é simétrico ao ponto  em relação à reta  se o segmento  é perpendicular à reta  e a interseção de  e  é o ponto médio de .

Questão 36266

(FUVEST 2014 - 2ª fase) Em uma aula de laboratório de Química, a professora propôs a realização da eletrólise da água. Após a montagem de uma aparelhagem como a da figura ao lado, e antes de iniciar a eletrólise, a professora perguntou a seus alunos qual dos dois gases, gerados no processo, eles esperavam recolher em maior volume. Um dos alunos respondeu: “O gás oxigênio deve ocupar maior volume, pois seus átomos têm oito prótons e oito elétrons (além dos nêutrons) e, portanto, são maiores que os átomos de hidrogênio, que, em sua imensa maioria, têm apenas um próton e um elétron”. Observou‐se, porém, que, decorridos alguns minutos, o volume de hidrogênio recolhido era o dobro do volume de oxigênio (e essa proporção se manteve no decorrer da eletrólise), de acordo com a seguinte equação química:

a) Considerando que a observação experimental não corresponde à expectativa do aluno, explique por que a resposta dada por ele está incorreta. Posteriormente, o aluno perguntou à professora se a eletrólise da água ocorreria caso a solução aquosa de Na₂SO₄ fosse substituída por outra. Em vez de responder diretamente, a professora sugeriu que o estudante repetisse o experimento, porém substituindo a solução aquosa de Na₂SO₄ por uma solução aquosa de sacarose (C₁₂H₂₂O₁₁).

b) O que o aluno observaria ao realizar o novo experimento sugerido pela professora? Explique.

Questão 36267

(FUVEST 2014 - 2ª fase) Investigou‐se a velocidade de formação de gás hidrogênio proveniente da reação de Mg metálico com solução aquosa de HCl. Uma solução aquosa de HCl foi adicionada em grande excesso, e de uma só vez, sobre uma pequena chapa de magnésio metálico, colocada no fundo de um erlenmeyer. Imediatamente após a adição, uma seringa, com êmbolo móvel, livre de atrito, foi adaptada ao sistema para medir o volume de gás hidrogênio produzido, conforme mostra o esquema ao lado. Os dados obtidos, sob temperatura e pressão constantes, estão representados na tabela abaixo e no gráfico na página de respostas.

a) Analisando os dados da tabela, um estudante de Química afirmou que a velocidade de formação do gás H2 varia durante o experimento. Explique como ele chegou a essa conclusão.

Em um novo experimento, a chapa de Mg foi substituída por raspas do mesmo metal, mantendo‐se iguais a massa da substância metálica e todas as demais condições experimentais.

b) No gráfico na página de respostas, esboce a curva que seria obtida no experimento em que se utilizou raspas de Mg.

Questão 36268

(FUVEST 2014 - 2ª fase) Ésteres podem reagir com álcoois ou com aminas, como exemplificado a seguir:

a) Escreva as fórmulas estruturais dos produtos da reação entre acetato de etila (CH₃CO₂CH₂CH₃) e metilamina (CH₃NH₂).

Considere o seguinte esquema de reação:

O composto intermediário B se transforma no produto final C, por meio de uma reação intramolecular que resulta na formação de um novo ciclo na estrutura molecular do produto C.

b) Escreva, nos espaços indicados na página de respostas, as fórmulas estruturais dos compostos A e C.

Questão 36269

(FUVEST 2014 - 2ª fase) Para estudar a variação de temperatura associada à reação entre Zn(s) e C²⁺(aq), foram realizados alguns experimentos independentes, nos quais diferentes quantidades de Zn(s) foram adicionadas a 100 mL de diferentes soluções aquosas de CuSO₄. A temperatura máxima (T_f) de cada mistura, obtida após a reação entre as substâncias, foi registrada conforme a tabela:

a) Escreva a equação química balanceada que representa a transformação investigada.

b) Qual é o reagente limitante no experimento 3? Explique.

c) No experimento 4, quais deveriam ser os valores de X e Y para que a temperatura T₄ seja a maior possível? Justifique sua resposta.