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Questão 36253

FUVEST

(Fuvest - 2014 - 2 FASE)

Considere o triângulo equilátero $Delta A_0 OB_0$ de lado 7 cm.

a) Sendo $A_1$ o ponto médio do segmento $overline{A_0 B_0}$ , e $B_1$ o ponto simétrico de $A_1$ em relação à reta determinada por $O$ e $B_0$ , determine o comprimento de $overline{0B_ 1}$ .

b) Repetido a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo $Delta A_1 OB_1$ , pode-se obter o triângulo $Delta A_ 2 OB_ 2$ tal que $A_2$ é o ponto médio do segmento $overline{A_1 B_1 }$ , e $B_2$ e o ponto simétrico de $A_2$ em relação à reta determinada por $O$ e $B_1$ . Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém-se o triângulo $Delta A_3 O B _ 3$ . Assim, sucessivamente, pode-se construir uma sequência de triângulos $Delta A_n OB_ n$ tais que, para todo $n geq 1$ , $A_n$ é o ponto médio de $overline{A_{n-1}B_{n-1}}$ , e $B_n$ , o ponto simétrico de $A_n$ em relação à reta determinada por $O$ e $B_{n-1}$ , conforme figura ao lado.

Denotando por $a_n$ , para $n geq 1$ , o comprimento do segmento $overline{A_{n-1} A_n}$ , verifique que $a_1, a_2, a_3, ...$ é uma progressão geométrica. Determine sua razão.

c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal $A_0 A_1 A_2 , ... , A_n, n geq 1.$

O ponto $p$ é simétrico ao ponto $P$ em relação à reta $r$ se o segmento $overline{Pp }$ é perpendicular à reta $r$ e a interseção de $overline{Pp }$ e $r$ é o ponto médio de $overline{Pp }$ .

Gabarito:

Resolução:

Como $Delta A_0 OB_0$ é equilátero, então $m(A_{0}hat{B}_{0}O) = 60 ^{circ}$ . como B₁é simétrico a A₁por $overline{OB_{0}}$ , $overline{OB_{0}} perp overline{A_{1}B_{1}}$ e, portanto, $m(Ohat{A}_{1}B_{1}) = 60 ^{circ}$ e $m(Ohat{B}_{1}A_{1}) = 60 ^{circ}$ .

Partindo disso, $Delta A_1 OB_1$ é equilátero e, analogamente, $Delta A_n OB_ n$ é equilátero para qualquer n maior ou igual a zero, com n pertencente aos inteiros.

a) $OB_{1} = OA_{1}$ e $overline{OA}_{1}$ é a altura $Delta A_0 OB_0$ , logo $OB_{1} = frac{7sqrt{3}}{2} cm$

b) $overline{OA_{n}}$ é a altura do $Delta A_{n-1}O B_{n-1}, ngeq 1$ e $A_{n-1}A_{n} = frac{1}{2} OA_{n-1}$ , logo:

$OA_{n} = OA_{n-1} cdot frac{sqrt{3}}{2} Leftrightarrow A_{n}A_{n+1} = A_{n-1}A_{n} cdot frac{sqrt{3}}{2} Leftrightarrow a_{n+1} = a_{n} cdot frac{sqrt{3}}{2}$

$n geq 1$ , que forma uma progressão geométrica de razão $frac{sqrt{3}}{2}$ e primeiro termo $A_{0}A_{1} = frac{A_{0}B_{0}}{2} = frac{7}{2}$

c) O comprimento da linha poligonal é a soma dos n primeiros termos da PG definida no item b dada por:

$S_{n} = frac{frac{7}{2}(1-(frac{sqrt{3}}{2})^{n})}{1-frac{sqrt{3}}{2}}$

$S_{n} = 7 (2+sqrt{3})(1-(frac{sqrt{3}}{2})^{n}) cm$

Questão 1779

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

No contexto do cartum, a presença de numerosos animais de estimação permite que o juízo emitido pela personagem seja considerado

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Questão 1780

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

Para obter o efeito de humor presente no cartum, o autor se vale, entre outros, do seguinte recurso:

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Questão 1794

FUVEST

(Fuvest 2016)

Omolu espalhara a bexiga na cidade. Era uma vingança contra a cidade dos ricos. Mas os ricos tinham a vacina, que sabia Omolu de vacinas? Era um pobre deus das florestas d’África. Um deus dos negros pobres. Que podia saber de vacinas? Então a bexiga desceu e assolou o povo de Omolu. Tudo que Omolu pôde fazer foi transformar a bexiga de negra em alastrim, bexiga branca e tola. Assim mesmo morrera negro, morrera pobre. Mas Omolu dizia que não fora o alastrim que matara. Fora o¹lazareto. Omolu só queria com o alastrim marcar seus filhinhos negros. O lazareto é que os matava. Mas as macumbas pediam que ele levasse a bexiga da cidade, levasse para os ricos latifundiários do sertão. Eles tinham dinheiro, léguas e léguas de terra, mas não sabiam tampouco da vacina. O Omolu diz que vai pro sertão. E os negros, os ogãs, as filhas e pais de santo cantam:

Ele é mesmo nosso pai
e é quem pode nos ajudar...

Omolu promete ir. Mas para que seus filhos negros não o esqueçam avisa no seu cântico de despedida:

Ora, adeus, ó meus filhinhos,
Qu’eu vou e torno a vortá...

E numa noite que os atabaques batiam nas macumbas, numa noite de mistério da Bahia, Omolu pulou na máquina da Leste Brasileira e foi para o sertão de Juazeiro. A bexiga foi com ele.

Jorge Amado, Capitães da Areia.

¹lazareto: estabelecimento para isolamento sanitário de pessoas atingidas por determinadas doenças.

Costuma-se reconhecer que Capitães da Areia pertence ao assim chamado “romance de 1930”, que registra importantes transformações pelas quais passava o Modernismo no Brasil, à medida que esse movimento se expandia e diversificava. No excerto, considerado no contexto do livro de que faz parte, constitui marca desse pertencimento

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Questão 1804

FUVEST

(Fuvest 2012)

Como não expressa visão populista nem elitista, o livro não idealiza os pobres e rústicos, isto é, não oculta o dano causado pela privação, nem os representa como seres desprovidos de vida interior; ao contrário, o livro trata de realçar, na mente dos desvalidos, o enlace estreito e dramático de limitação intelectual e esforço reflexivo.

Essas afirmações aplicam-se ao modo como, na obra:

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