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Questão 36369

FUVEST

(FUVEST - 2018 - 2a fase)

Considere a sequência a1 = 6, a2 = 4, a3 = 1, a4 = 2, e an = an-4, para $ngeq 5$ . Defina $S_{n}^{k}=a_{n}+a_{n+1}+...+a_{n+k}$ para $kgeq 0$ , isto é, $S_{n}^{k}$ é a soma de k + 1 termos consecutivos da sequência começando do n-ésimo, por exemplo, $S_{2}^{1}=4+1=5$ .

a) Encontre n e k tal que $S_{n}^{k}=20$ .

b) Para cada inteiro j, $1leq jleq 12$ , encontre n e k tal que $S_{n}^{k}=j$ .

c) Mostre que, para qualquer inteiro j, $jgeq 1$ , existem inteiros $ngeq 1$ e $kgeq 0$ tais que $S_{n}^{k}=j$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Como a sequência se trata de 6,4,1,2,6,4,1,2... e isso se repete periodicamente, percebemos que a soma de termos consecutivos é igual a 20 quando eles se iniciam em 4 e terminam 2.
Logo:

$S^k_n=20$

$n=2 : e: k=6$ ou $n=6 : e: k=6$ ou $n=10 : e: k=6$

Logo: $n=2,6,10...: e: k=6$

---------------------------------------------------------------------

$1leq jleq 12 : e: S^k_n=j$

$j=1 ightarrow n=3,7,11...: e: k=0$

$j=2 ightarrow n=4,8,12...: e: k=0$

$j=3 ightarrow n=3,7,11...: e: k=1$

$j=4 ightarrow n=2,6,10...: e: k=0$

$j=5 ightarrow n=2,6,10...: e: k=1$

$j=6 ightarrow n=1,5,9...: e: k=0$

$j=7 ightarrow n=2,6,10...: e: k=2$

$j=8 ightarrow n=4,8,12...: e: k=1$

$j=9 ightarrow n=3,7,11...: e: k=2$

$j=10 ightarrow n=1,5,9...: e: k=1$

$j=11 ightarrow n=1,5,9...: e: k=2$

$j=12 ightarrow n=4,8,12...: e: k=2$

-------------------------------------------------------

c) No item b, já encontramos que, para $1leq jleq 12$ existem n e k inteiros tais que $S^k_n=j$

Se observamos o caso de j=13 (ou múltiplo de 13) teremos:

$S^k_n=13 ightarrow n=1,5,9...: e: k=3 : (para: j=13), 7 : (para: j=26)...$

No caso de j não ser múltiplo de 13, podemos escrevê-lo como:

j=13q + r

com q inteiro e r sendo um número inteiro entre 1 e 12.

Pela primeira parte, vemos que para 13q (como é múltiplo de 13) existem n e k que satisfazem a condição. Já pela resolução do item b, percebemos que existem n e k para qualquer j entre 1 e 12, então devem existir n e k para r.

Questão 1779

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

No contexto do cartum, a presença de numerosos animais de estimação permite que o juízo emitido pela personagem seja considerado

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Questão 1780

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

Para obter o efeito de humor presente no cartum, o autor se vale, entre outros, do seguinte recurso:

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Questão 1794

FUVEST

(Fuvest 2016)

Omolu espalhara a bexiga na cidade. Era uma vingança contra a cidade dos ricos. Mas os ricos tinham a vacina, que sabia Omolu de vacinas? Era um pobre deus das florestas d’África. Um deus dos negros pobres. Que podia saber de vacinas? Então a bexiga desceu e assolou o povo de Omolu. Tudo que Omolu pôde fazer foi transformar a bexiga de negra em alastrim, bexiga branca e tola. Assim mesmo morrera negro, morrera pobre. Mas Omolu dizia que não fora o alastrim que matara. Fora o¹lazareto. Omolu só queria com o alastrim marcar seus filhinhos negros. O lazareto é que os matava. Mas as macumbas pediam que ele levasse a bexiga da cidade, levasse para os ricos latifundiários do sertão. Eles tinham dinheiro, léguas e léguas de terra, mas não sabiam tampouco da vacina. O Omolu diz que vai pro sertão. E os negros, os ogãs, as filhas e pais de santo cantam:

Ele é mesmo nosso pai
e é quem pode nos ajudar...

Omolu promete ir. Mas para que seus filhos negros não o esqueçam avisa no seu cântico de despedida:

Ora, adeus, ó meus filhinhos,
Qu’eu vou e torno a vortá...

E numa noite que os atabaques batiam nas macumbas, numa noite de mistério da Bahia, Omolu pulou na máquina da Leste Brasileira e foi para o sertão de Juazeiro. A bexiga foi com ele.

Jorge Amado, Capitães da Areia.

¹lazareto: estabelecimento para isolamento sanitário de pessoas atingidas por determinadas doenças.

Costuma-se reconhecer que Capitães da Areia pertence ao assim chamado “romance de 1930”, que registra importantes transformações pelas quais passava o Modernismo no Brasil, à medida que esse movimento se expandia e diversificava. No excerto, considerado no contexto do livro de que faz parte, constitui marca desse pertencimento

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Questão 1804

FUVEST

(Fuvest 2012)

Como não expressa visão populista nem elitista, o livro não idealiza os pobres e rústicos, isto é, não oculta o dano causado pela privação, nem os representa como seres desprovidos de vida interior; ao contrário, o livro trata de realçar, na mente dos desvalidos, o enlace estreito e dramático de limitação intelectual e esforço reflexivo.

Essas afirmações aplicam-se ao modo como, na obra:

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