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Questão 36371

FUVEST

(FUVEST - 2018 - 2a fase)

Para responder aos itens a) e b), considere a figura correspondente.

a) Num tetraedro 0 ABC, os ângulos $Awidehat{O}B, Bwidehat{O}C$ e $Cwidehat{O}A$ medem 90º . Sendo $alpha$ e $eta$ as medidas dos ângulos $Awidehat{C}O$ e $Bwidehat{C}O$ , respectivamente, expresse o cosseno do ângulo $Awidehat{C}B$ em função de $alpha$ e $eta$ .

b) Um navio parte do ponto de latitude 0º e longitude 0º e navega até chegar a um ponto de latitude 45º sul e longitude 45º oeste, seguindo a trajetória que minimiza a distância percorrida. Admita que a Terra seja esférica de raio R = 6000km. Qual foi a distância percorrida pelo navio?

Gabarito:

Resolução:

Usando trigonometria nos triângulos retângulos BOC, AOC e AOB, temos:

$cos : alpha= frac{OC}{AC} ightarrow AC= frac{OC}{cos : alpha}$

$cos : eta= frac{OC}{BC} ightarrow BC= frac{OC}{cos : eta}$

$sen : eta= frac{OB}{BC} ightarrow OB= BC cdot sen: eta$

$sen : alpha= frac{AO}{AC} ightarrow OA= AC cdot sen : alpha$

Pitágoras em AOB:

$AB^2= AO^2+ OB^2 ightarrow AB^2 = (AC cdot sen : alpha)^2+ (BC cdot sen: eta)^2$

Substituindo AC e AB isolados na expressão de AB, encontramos:

$AB^2 = (frac{OCcdot sen : alpha}{cos : alpha} )^2+ (frac{OCcdot sen : eta}{cos : eta} )^2 \ \ AB^2 = OC^2 cdot : tg^2 alpha + OC^2 cdot : tg^2 eta \ \ AB^2=OC^2(tg^2 alpha+tg^2 eta)$

Usando lei dos cossenos no triângulo ABC, temos:

$AB^2=BC^2+AC^2-2BC cdot AC cdot cos Ahat{C}B$

substituindo os termos já encontrados, que estão em função de alfa, beta e OC, temos:

$OC^2(tg^2alpha+tg^2 eta)=frac{OC^2}{cos^2 eta}+ frac{OC^2}{cos^2 alpha}-2 cdot frac{OC}{cos eta} cdot frac{OC}{cos alpha} cdot cos Ahat{C}B$

Simplificando $OC^2$ dos dois lados da equação e remanejando, temos:

$[frac{sen^2 alpha}{cos^2alpha}-frac{1}{cos^2alpha}+frac{sen^2 eta}{cos^2eta}-frac{1}{cos^2eta}] cdot cos eta cdot cosalpha=-2cosAhat{C}B$

Pela relação fundamental, temos: $sen^2 x-1=-cos^2x$

Então:

$[frac{-cos^2alpha}{cos^2alpha}+frac{-cos^2eta}{cos^2eta}] cdot cos eta cdot cosalpha=-2cosAhat{C}B$

$[-1-1] cdot cos eta cdot cosalpha=-2cosAhat{C}B$

$cosAhat{C}B=cos eta cdot cosalpha$

_________________________________________________________________

Supondo A o ponto de coordenadas 0° e 0° (ponto de partida).
Supondo B o ponto de coordenadas 0° latitude e 45° longitude.
Supondo C o ponto de coordenadas 45° latitude e 45° longitude (ponto de chegada).

Percebemos que A e B estão sobre o mesmo paralelo (linha do equador) e B e C estão sobre o mesmo meridiano (de 45°).

Sendo O o centro do globo, traçamos retas (que equivalem ao raio) OA, OB e OC. Podemos perceber que o ângulo AÔB deve ser de 45° (já que o trajeto de A até B corresponde a percorrer 45° sobre a linha do equador na superfície do globo. Analogamente, o ângulo BÔC também deve medir 45°, porque ir de B para C corresponde a percorrer 45° no meridiano.

Dessa maneira, temos uma situação análoga à figura da questão a, onde:

O arco AC é a distância percorrida pelo navio. Sendo assim, para descobrir o comprimento do arco, devemos saber o ângulo correspondente, que é AÔC. Assim, podemos usar o resultado obtido no item anterior:

$cos(Ahat{O}C)=cos45^{circ} cdot sen45^{circ}$

Logo:

$cos45^{circ} cdot sen45^{circ}=frac{sqrt2}{2} cdotfrac{sqrt2}{2}=frac{1}{2}$

Portanto:

$cos(Ahat{O}C)=frac{1}{2}$

$Ahat{O}C= frac{ pi }{3}=60^{circ}$

Como $OA=OC=R=6000km$ podemos descobrir o comprimento do arco AC:

$AC=frac{60}{360} cdot 2 pi R$

$AC=2000pi : km$

Questão 1779

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

No contexto do cartum, a presença de numerosos animais de estimação permite que o juízo emitido pela personagem seja considerado

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Questão 1780

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

Para obter o efeito de humor presente no cartum, o autor se vale, entre outros, do seguinte recurso:

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Questão 1794

FUVEST

(Fuvest 2016)

Omolu espalhara a bexiga na cidade. Era uma vingança contra a cidade dos ricos. Mas os ricos tinham a vacina, que sabia Omolu de vacinas? Era um pobre deus das florestas d’África. Um deus dos negros pobres. Que podia saber de vacinas? Então a bexiga desceu e assolou o povo de Omolu. Tudo que Omolu pôde fazer foi transformar a bexiga de negra em alastrim, bexiga branca e tola. Assim mesmo morrera negro, morrera pobre. Mas Omolu dizia que não fora o alastrim que matara. Fora o¹lazareto. Omolu só queria com o alastrim marcar seus filhinhos negros. O lazareto é que os matava. Mas as macumbas pediam que ele levasse a bexiga da cidade, levasse para os ricos latifundiários do sertão. Eles tinham dinheiro, léguas e léguas de terra, mas não sabiam tampouco da vacina. O Omolu diz que vai pro sertão. E os negros, os ogãs, as filhas e pais de santo cantam:

Ele é mesmo nosso pai
e é quem pode nos ajudar...

Omolu promete ir. Mas para que seus filhos negros não o esqueçam avisa no seu cântico de despedida:

Ora, adeus, ó meus filhinhos,
Qu’eu vou e torno a vortá...

E numa noite que os atabaques batiam nas macumbas, numa noite de mistério da Bahia, Omolu pulou na máquina da Leste Brasileira e foi para o sertão de Juazeiro. A bexiga foi com ele.

Jorge Amado, Capitães da Areia.

¹lazareto: estabelecimento para isolamento sanitário de pessoas atingidas por determinadas doenças.

Costuma-se reconhecer que Capitães da Areia pertence ao assim chamado “romance de 1930”, que registra importantes transformações pelas quais passava o Modernismo no Brasil, à medida que esse movimento se expandia e diversificava. No excerto, considerado no contexto do livro de que faz parte, constitui marca desse pertencimento

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Questão 1804

FUVEST

(Fuvest 2012)

Como não expressa visão populista nem elitista, o livro não idealiza os pobres e rústicos, isto é, não oculta o dano causado pela privação, nem os representa como seres desprovidos de vida interior; ao contrário, o livro trata de realçar, na mente dos desvalidos, o enlace estreito e dramático de limitação intelectual e esforço reflexivo.

Essas afirmações aplicam-se ao modo como, na obra:

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