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Questão 37597

FUVEST

(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questão 6)

A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço).

Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora sejam

$A=igl(egin{smallmatrix} 3 &2 \ 1& 1 end{smallmatrix}igr)$ e $B=igl(egin{smallmatrix} 1 &-2 \ -1& 3 end{smallmatrix}igr)$ , respectivamente. A matriz em que se escreve a mensagem é $M=igl(egin{smallmatrix} F & U & V\ E & S & T end{smallmatrix}igr)$ , que, numericamente corresponde a $M=igl(egin{smallmatrix} 6 & 21 & 22\ 5 & 19 & 20 end{smallmatrix}igr).$

Para fazer a codificação da mensagem, é feito o produto de matrizes $N=Acdot M=igl(egin{smallmatrix} 3 &2 \ 1 & 1 end{smallmatrix}igr)igl(egin{smallmatrix} 6 & 21 & 22\ 5 & 19 & 20 end{smallmatrix}igr) = igl(egin{smallmatrix} 28 & 101 & 106\ 11 & 40 & 42 end{smallmatrix}igr)$ .

a) Se a matriz codificadora é $A=igl(egin{smallmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 end{smallmatrix}igr)$ e a mensagem a ser transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada que o destinatário recebe?

b) Se a matriz codificadora é $A=igl(egin{smallmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 end{smallmatrix}igr)$ e o destinatário recebe a matriz codificada $N = igl(egin{smallmatrix} 33 & 9 & 8 & 48\\ 47 & 13 & 9 & 75 end{smallmatrix}igr)$ , qual foi a mensagem enviada ?

c) Nem toda matriz A é uma matriz eficaz para enviar mensagens. Por exemplo, se $A=igl(egin{smallmatrix} 2 &-7 \\ 4& -14 end{smallmatrix}igr)$ , encontre 4 sequências de 4 letras de forma que as respectivas matrizes codificadas sejam sempre iguais a $igl(egin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 end{smallmatrix}igr)$

Gabarito:

Resolução:

Seja A = matriz codificadora e B = matriz decodificadora, é certo que A.B = I.

a) $A=egin{pmatrix} 1 & 1\ 1& 2 end{pmatrix}$ , $Megin{pmatrix} E & S & C\ O & L & A end{pmatrix}=egin{pmatrix} 5 & 19 & 3\ 15 & 12 & 1 end{pmatrix}$

$N = Acdot M=egin{pmatrix} 1 & 1\ 1& 2 end{pmatrix}cdot egin{pmatrix} 5 & 19 & 3\ 15 & 12 & 1 end{pmatrix}=egin{pmatrix} 20 & 31 & 4\ 35 & 43 & 5 end{pmatrix}$

b) Temos que $N = Acdot M$ , se fizermos $A^{-1}N=Acdot A^{-1}cdot M$ , vem : $A^{-1}N=M$ . Logo, a matriz decodificadora é $B=A^{-1}$ . Assim,

$Acdot A^{-1}=I ightarrow egin{pmatrix} 1 &1 \ 1& 2 end{pmatrix}cdot egin{pmatrix} a & b\ c& d end{pmatrix}=egin{pmatrix} 1 &0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Pela igualdade, vem:

$egin{pmatrix} a +c& b+d\ a+2c& b+2d end{pmatrix}=egin{pmatrix} 1 &0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

$left{egin{matrix} a+2c=0 ightarrow a=-2c\ a+c=1 ightarrow -2c+c=1 herefore c=-1, a=2\ b+d=0 herefore b=-d\ b+2d=1 herefore d=1, b=-1 end{matrix} ight.$

portanto, A^-1=B= $egin{pmatrix} 2 & -1\ -1 & 1 end{pmatrix}$ . Com isso, descobrimos a matriz codificadora.

$M=A^{-1}cdot N=egin{pmatrix} 2 & -1\ -1 & 1 end{pmatrix}cdot egin{pmatrix} 33 & 9 & 8 & 48\ 47& 13 & 9 & 75 end{pmatrix}$

$M=egin{pmatrix} 19 & 5 & 7 & 21\ 14& 4 & 1 & 27 end{pmatrix}=egin{pmatrix} S & E & G & U\ N& D & A & * end{pmatrix}$

c) $N=Acdot M=egin{pmatrix} 0 & 0\ 0 & 0 end{pmatrix}=egin{pmatrix} 2 & -7\ 4& -14 end{pmatrix}cdot egin{pmatrix} a & b\ c & d end{pmatrix}$

Pela igualdade, vem,

$0=2a-7cRightarrow 2a=7c$

$0=2b-7dRightarrow 2b=7d$

$0=4a-14cRightarrow 4a=14cRightarrow 2a=7c$

$0=4b-14dRightarrow 2b=7d$

Podemos fazer,

$c=2, a=7, d=4, b=14Rightarrow M=egin{pmatrix} G& N\ B& D end{pmatrix}$

$c=4, a=14, d=2, b=7Rightarrow M=egin{pmatrix} N& G\ D& B end{pmatrix}$

$c=6, a=21, d=2, b=7Rightarrow M=egin{pmatrix} U& G\ F& B end{pmatrix}$

$c=2, a=7, d=6, b=21Rightarrow M=egin{pmatrix} G& U\ B& F end{pmatrix}$

Questão 1779

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

No contexto do cartum, a presença de numerosos animais de estimação permite que o juízo emitido pela personagem seja considerado

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Questão 1780

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

Para obter o efeito de humor presente no cartum, o autor se vale, entre outros, do seguinte recurso:

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Questão 1794

FUVEST

(Fuvest 2016)

Omolu espalhara a bexiga na cidade. Era uma vingança contra a cidade dos ricos. Mas os ricos tinham a vacina, que sabia Omolu de vacinas? Era um pobre deus das florestas d’África. Um deus dos negros pobres. Que podia saber de vacinas? Então a bexiga desceu e assolou o povo de Omolu. Tudo que Omolu pôde fazer foi transformar a bexiga de negra em alastrim, bexiga branca e tola. Assim mesmo morrera negro, morrera pobre. Mas Omolu dizia que não fora o alastrim que matara. Fora o¹lazareto. Omolu só queria com o alastrim marcar seus filhinhos negros. O lazareto é que os matava. Mas as macumbas pediam que ele levasse a bexiga da cidade, levasse para os ricos latifundiários do sertão. Eles tinham dinheiro, léguas e léguas de terra, mas não sabiam tampouco da vacina. O Omolu diz que vai pro sertão. E os negros, os ogãs, as filhas e pais de santo cantam:

Ele é mesmo nosso pai
e é quem pode nos ajudar...

Omolu promete ir. Mas para que seus filhos negros não o esqueçam avisa no seu cântico de despedida:

Ora, adeus, ó meus filhinhos,
Qu’eu vou e torno a vortá...

E numa noite que os atabaques batiam nas macumbas, numa noite de mistério da Bahia, Omolu pulou na máquina da Leste Brasileira e foi para o sertão de Juazeiro. A bexiga foi com ele.

Jorge Amado, Capitães da Areia.

¹lazareto: estabelecimento para isolamento sanitário de pessoas atingidas por determinadas doenças.

Costuma-se reconhecer que Capitães da Areia pertence ao assim chamado “romance de 1930”, que registra importantes transformações pelas quais passava o Modernismo no Brasil, à medida que esse movimento se expandia e diversificava. No excerto, considerado no contexto do livro de que faz parte, constitui marca desse pertencimento

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Questão 1804

FUVEST

(Fuvest 2012)

Como não expressa visão populista nem elitista, o livro não idealiza os pobres e rústicos, isto é, não oculta o dano causado pela privação, nem os representa como seres desprovidos de vida interior; ao contrário, o livro trata de realçar, na mente dos desvalidos, o enlace estreito e dramático de limitação intelectual e esforço reflexivo.

Essas afirmações aplicam-se ao modo como, na obra:

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