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Questão 44449

FUVEST

(FUVEST - 2020 - 2 fase)

Resolva os três itens abaixo:

a)Considere o conjunto formado pelos números complexos $ext{z}$ que cumprem a condição $ext{Re(z)} = ext{Im(z)}$ . Cada elemento desse conjunto será objeto da transformação que leva um número complexo em seu conjugado. Represente no plano complexo (ou plano de Argand-Gauss) da folha de respostas o conjunto resultante após essa transformação.

b) Determine o lugar geométrico dos pontos $ext{z}$ do plano complexo tais que ${z eq -1 }$ e para os quais $frac{z-1}{z+1}$ é um número imaginário puro.

c) Determine as partes reais de todos os números complexos $ext{z}$ tais que as representações de $ext{z, i e 1}$ no plano complexo sejam vértices de um triângulo equilátero.

Gabarito:

Resolução:

Seja $z=a+bi$ , pelas condições do enunciado:

$Re(z)=Im(z) Rightarrow b=aRightarrow z=a+ai$

Seja a transformação $T$ descrita:

$T(z)=overline{z}Rightarrow T(z)=a-ai$

a) O lugar geométrico de $T(z)=aleft (1-i ight )$ é a bissetriz dos quadrantes pares

b) $z eq 1$ e $Releft (frac{z-1}{z+1} ight )=0$

Seja $w=frac{z-1}{z+1}$ e seja $z=a+bi$

$w=frac{a-1+bi}{a+1+bi}$ , multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:

$w=frac{left (a-1 ight )+bi}{left (a+1 ight )+bi}cdot frac{(a+1)-bi}{(a+1)-bi}$

$w=frac{left (a-1 ight )left ( a+1 ight )+left ( a+1 ight )bi+left ( a-1 ight )bi+b^{2}}{left (a+1 ight )^{2}-b^{2}}$

$w=frac{a^{2}-1+b^{2}}{(a+1)^{2}+b^{2}}+icdot frac{b}{(a+1)^{2}+b^{2}}$

$Re(w)=0Rightarrow a^{2}-1+b^{2}=0$

$Rightarrow a^{2}+b^{2}=1$

Logo o lugar geométrico $LG$ é:

$LG=left { zin mathbb{C} /left | z ight |=1 e z eq -1 ight }$

Fazemos as distâncias de $z=a+bi$ até $i$ é 1. É fácil ver que o lado do triângulo vale $sqrt{2}$ pelo triângulo:

Logo $d_{z-1}=sqrt{2}$ e $d_{z-i}=sqrt{2}$ .

$egin{cases} d_{z-1} ^{2}=left | z-1 ight |^{2}=2=(a-1)^{2}+b^{2}\ d_{z-i } ^{2}=left | z-i ight |^{2}=2=a^{2}+left ( b-1 ight )^{2} end{cases}$

$egin{cases} (a-1)^{2}+b^{2}=2\ a^{2}+left ( b-1 ight )^{2}=2 end{cases}Rightarrow$ $egin{cases} a^{2}+b^{2}+1-2a=2\ a^{2}+ b^{2}+1-2b=2 end{cases}$

Logo, $a=b$ , então:

$2a^{2}-2a-1=0 Rightarrow a=frac{1pm sqrt{3}}{2}$

Chegando então em 2 valores de $z$ :

$z=frac{1+sqrt{3}}{2}+icdot frac{1+sqrt{3}}{2}$ e

$z=frac{1-sqrt{3}}{2}+icdot frac{1-sqrt{3}}{2}$

(Outro método)

A questão pode ser resolvida geometricamente:

$z_{1}=1+sqrt{2} cis(75^{circ})$

Nota-se que o ângulo do triângulo retângulo é 45º e do triângulo equilátero é 60º

$z_{2}=1-sqrt{2} cis(15^{circ})$

Obs: - $cis( heta )=cos( heta )+icdot sen( heta )$

- Números complexos podem ser somados tal como valores e podem ser escritos em sua forma ângular:

$z=rcdot cis( heta )$

Questão 1779

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

No contexto do cartum, a presença de numerosos animais de estimação permite que o juízo emitido pela personagem seja considerado

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Questão 1780

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

Para obter o efeito de humor presente no cartum, o autor se vale, entre outros, do seguinte recurso:

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Questão 1794

FUVEST

(Fuvest 2016)

Omolu espalhara a bexiga na cidade. Era uma vingança contra a cidade dos ricos. Mas os ricos tinham a vacina, que sabia Omolu de vacinas? Era um pobre deus das florestas d’África. Um deus dos negros pobres. Que podia saber de vacinas? Então a bexiga desceu e assolou o povo de Omolu. Tudo que Omolu pôde fazer foi transformar a bexiga de negra em alastrim, bexiga branca e tola. Assim mesmo morrera negro, morrera pobre. Mas Omolu dizia que não fora o alastrim que matara. Fora o¹lazareto. Omolu só queria com o alastrim marcar seus filhinhos negros. O lazareto é que os matava. Mas as macumbas pediam que ele levasse a bexiga da cidade, levasse para os ricos latifundiários do sertão. Eles tinham dinheiro, léguas e léguas de terra, mas não sabiam tampouco da vacina. O Omolu diz que vai pro sertão. E os negros, os ogãs, as filhas e pais de santo cantam:

Ele é mesmo nosso pai
e é quem pode nos ajudar...

Omolu promete ir. Mas para que seus filhos negros não o esqueçam avisa no seu cântico de despedida:

Ora, adeus, ó meus filhinhos,
Qu’eu vou e torno a vortá...

E numa noite que os atabaques batiam nas macumbas, numa noite de mistério da Bahia, Omolu pulou na máquina da Leste Brasileira e foi para o sertão de Juazeiro. A bexiga foi com ele.

Jorge Amado, Capitães da Areia.

¹lazareto: estabelecimento para isolamento sanitário de pessoas atingidas por determinadas doenças.

Costuma-se reconhecer que Capitães da Areia pertence ao assim chamado “romance de 1930”, que registra importantes transformações pelas quais passava o Modernismo no Brasil, à medida que esse movimento se expandia e diversificava. No excerto, considerado no contexto do livro de que faz parte, constitui marca desse pertencimento

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Questão 1804

FUVEST

(Fuvest 2012)

Como não expressa visão populista nem elitista, o livro não idealiza os pobres e rústicos, isto é, não oculta o dano causado pela privação, nem os representa como seres desprovidos de vida interior; ao contrário, o livro trata de realçar, na mente dos desvalidos, o enlace estreito e dramático de limitação intelectual e esforço reflexivo.

Essas afirmações aplicam-se ao modo como, na obra:

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