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Questão 67763

VUNESP

(VUNESP) Se p natural maior que 1 não divisível nem por 2 e nem por 3, então $p^2-1$ é divisível por:

18.

36.

27.

Gabarito:

Resolução:

1) Se p não é divísivel por 2, então p é ímpar.

2) Se p não é divisível por 3, então $p=3k+1$ ou $p=3k+2$ , em que $k$ é um natural desconhecido.

Se $k$ for um natural ímpar, $3k+1$ não é ímpar, então p seria $3k+2$ .

Da mesma forma, se $k$ for um número par, $3k+2$ não é ímpar, então p seria $3k+1$ .

3) Vamos analisar os dois casos possíveis:

• $p=3k+2$ , $k$ ímpar.

$p^2-1=(3k+2)^2-1$

$p^2-1=9k^2+12k+3$

$p^2-1=3(3k^2+4k+1)$

Considerando que $k$ é ímpar: $k=2b+1$

$p^2-1=3[3(2b+1)^2+4(2b+1)+1]$

$p^2-1=3[3(4b^2+4b+1)+4(2b+1)+1]$

$p^2-1=3[12b^2+12b+3+8b+4+1]$

$p^2-1=3[12b^2+20b+8]$

$p^2-1=3cdot 4[3b^2+5b+2]$

$p^2-1=12[3b^2+5b+2]$

Como $3b^2+5b+2$ é par, não importando $b$ , temos que $p^2-1=12cdot2m=24m$ , que é divisível por 24.

• $p=3k+1$ , $k$ par.

$p^2-1=(3k+1)^2-1$

$p^2-1=9k^2+6k$

$p^2-1=3(3k^2+2k)$

Considerando que $k$ é par: $k=2b$

$p^2-1=3[3(2b)^2+2(2b)]$

$p^2-1=3[3cdot 4b^2+4b]$

$p^2-1=3cdot 4[3b^2+b]$

Como $3b^2+b$ é par, não importando $b$ , temos que $p^2-1=12cdot2m=24m$ , que é divisível por 24.

Alternativa correta é Letra B.

Questão 2177

VUNESP

(VUNESP)

“De resto não é bem uma greve, é um lock-out, greve dos patrões, que suspenderam o trabalho noturno”.

“Muitas vezes lhe acontecera bater à campainha de uma casa e ser atendido por uma empregada ou por outra pessoa qualquer”.

“E, às vezes, me julgava importante.”

Identifique a alternativa em que os termos em destaque aparecem corretamente analisados quanto à função sintática:

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Questão 7201

VUNESP

(VUNESP - 1985) Se o comprimento de um retângulo aumenta em 10% e a área permanece constante, a largura do retângulo diminui:

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Questão 7204

VUNESP

(VUNESP - 1989) João e Tomás partiram um bolo retangular. João comeu a metade da terça parte e Tomás comeu a terça parte da metade. Quem comeu mais?

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Questão 7306

VUNESP

(Vunesp 2010)

Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P₁ e P₂, para produzir dois tipos de chocolates, C₁ e C₂. Para produzir 1000 unidades de C₁ são exigidas 3 horas de trabalho no processo P₁ e 3 horas em P₂. Para produzir 1000 unidades de C₂ são necessárias 1 hora de trabalho no processo P₁ e 6 horas em P₂. Representada por x a quantidade diária de lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P₁ e por y a quantidade diária de lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P₂, sabe-se que o número de horas trabalhadas pelo dia no processo P₁ é 3x + y, e que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P₂ é 3x + 6y.

Dado que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P₁ é de R$ 0,50, enquanto que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P₂ é de R$ 0,80, e se forem vendidas todas as unidades produzidas em um dia nos dois processos, no número máximo possíveis de horas, o lucro obtido, em reais, será:

*no processo P1 pode-se trabalhar no máximo 9 horas por dia e no processo P2 pode-se trabalhar no máximo 24 horas por dia

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