Questão 70268

FUVEST
  1. Matemática
  2. Matemática

(FUVEST - 2022 - 2ª fase)

Uma pirâmide 𝐏 tem base quadrada A_0B_0C_0D_0 de lado medindo 1 𝑢. 𝑚., apoiada em um plano Pi, e quatro faces que são triângulos equiláteros, ligando a base ao ápice E_0 de 𝐏. Os dezesseis pontos A_1A_2A_3B_1B_2B_3C_1C_2C_3D_1D_2D_3E_1E_2E_3 e E_4, indicados na figura, dividem cada aresta da pirâmide em três segmentos de igual medida.

Um novo sólido 𝐒, em destaque na figura, é produzido subtraindo-se de 𝐏 as cinco pirâmides A_0A_1A_2A_3, B_0_1B_2B_3, C_0C_1C_2C_3, D_0 D_1D_2D_3 e E_0E_1E_2E_3. Determine:

 

a) o perímetro da face de 𝐒 que se apoia em Pi, cujos vértices são A_1, A_3, B_1, B_3, C_1, C_3, D_1 e D_3.
b) o volume de 𝐒.
c) a distância entre A_1 e E_2. 

Gabarito:

Resolução:

A) Temos a seguinte figura:

Para o perímetro temos 4 lados que estão no quadrado original que medem frac{1}{3} e 4 lados que são hipotenusas de triângulos retângulos

Medida da hipotenusa: sqrt{2} cdot frac{1}{3}=frac{sqrt{2}}{3}

Perímetro:

S=4cdot frac{sqrt{2}}{3} +4cdot frac{1}{3}

S=frac{4(sqrt{2}+1)}{3} u. m.

B) i) Volume da pirâmide antes dos cortes:

Todos os arestas medem 1 u.m. Podemos utilizar a fórmula do volume de um tetraedro regular:

V=frac{l^3sqrt{2}}{12}

V=frac{sqrt{2}}{12}

ii) Volume de cada uma das quatro pirâmides cortadas da base:

a=frac{1}{3}cdot frac{dsqrt{3}}{2}

Como d=frac{sqrt{2}}{3}: 

a=frac{sqrt{3}}{6}cdot frac{sqrt{2}}{3}

a=frac{sqrt{6}}{18}

Por Pitágoras:

frac{1}{9}=h^2+a^2

h^2=frac{1}{9}-frac{6}{324}

h^2=frac{1}{9}-frac{1}{54}

h^2=frac{5}{54}

h=frac{sqrt{5}}{3sqrt{6}}

O volume de cada pirâmide é área da base vezes altura:

v_1=A_b cdot h

v_1=frac{(frac{sqrt{2}}{3})^2sqrt{3}}{4}cdot frac{sqrt{5}}{3sqrt{6}}

v_1=frac{sqrt{5}}{54sqrt{2}}

iii) Volume da pirãmide cortada superiormente. que é um tetraedro regular de lado frac{1}{3}

v_2=frac{l^3sqrt{2}}{12}

v_2=frac{sqrt{2}}{12cdot 27}

iii) Volume de S:

V_S=frac{sqrt{2}}{12}-4cdot frac{sqrt{5}}{54sqrt{2}}-frac{sqrt2}{324}

V_S=frac{sqrt{2}}{12}-frac{2sqrt{10}}{54}-frac{sqrt2}{324}

V_S=frac{27sqrt{2}-12sqrt{10}-sqrt2}{324}

V_S=frac{26sqrt{2}-12sqrt{10}}{324}

V_S=frac{13sqrt{2}-6sqrt{10}}{162} u.v.

C) Num sistema de coordenadas em três dimensões, em que a origem é o ponto A_0, vamos descobrir as coordenadas de cada ponto.

A_1=(frac{1}{3},0,0)

E_2=(frac{1}{3},frac{2}{3},z)    → somente a altura deste ponto não é clara pela figura, devemos analisar por semelhança de figuras

Se a altura total da pirâmide é h=frac{sqrt{5}}{3sqrt{6}} e o lado da base mede 1, então a pirâmide superior, cuja base mede frac{1}{3} tem altura z:

frac{frac{1}{3}}{1}=frac{z}{h}

z=frac{h}{3}

z=frac{sqrt{5}}{9sqrt{6}}

Ponto E_2=(frac{1}{3},frac{2}{3},frac{sqrt{5}}{9sqrt{6}})

Vamos calcular a distância entre eles pela fórmula:

d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2

d^2=(0)^2+(frac{2}{3})^2+(frac{sqrt{5}}{9sqrt{6}})^2

d^2=frac{4}{9}+frac{5}{81 cdot 6}

d^2=frac{216+5}{486}

d^2=frac{221}{486}

d=sqrt{frac{221}{486}} u.m.



Questão 1779

FUVEST
  1. Português
  2. Português

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

No contexto do cartum, a presença de numerosos animais de estimação permite que o juízo emitido pela personagem seja considerado

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Questão 1780

FUVEST
  1. Português
  2. Português

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

Para obter o efeito de humor presente no cartum, o autor se vale, entre outros, do seguinte recurso:

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Questão 1794

FUVEST
  1. Português
  2. Português

(Fuvest 2016)

Omolu espalhara a bexiga na cidade. Era uma vingança contra a cidade dos ricos. Mas os ricos tinham a vacina, que sabia Omolu de vacinas? Era um pobre deus das florestas d’África. Um deus dos negros pobres. Que podia saber de vacinas? Então a bexiga desceu e assolou o povo de Omolu. Tudo que Omolu pôde fazer foi transformar a bexiga de negra em alastrim, bexiga branca e tola. Assim mesmo morrera negro, morrera pobre. Mas Omolu dizia que não fora o alastrim que matara. Fora o 1lazareto. Omolu só queria com o alastrim marcar seus filhinhos negros. O lazareto é que os matava. Mas as macumbas pediam que ele levasse a bexiga da cidade, levasse para os ricos latifundiários do sertão. Eles tinham dinheiro, léguas e léguas de terra, mas não sabiam tampouco da vacina. O Omolu diz que vai pro sertão. E os negros, os ogãs, as filhas e pais de santo cantam:

Ele é mesmo nosso pai
e é quem pode nos ajudar...

Omolu promete ir. Mas para que seus filhos negros não o esqueçam avisa no seu cântico de despedida:

Ora, adeus, ó meus filhinhos,
Qu’eu vou e torno a vortá...

E numa noite que os atabaques batiam nas macumbas, numa noite de mistério da Bahia, Omolu pulou na máquina da Leste Brasileira e foi para o sertão de Juazeiro. A bexiga foi com ele.

Jorge Amado, Capitães da Areia.

1lazareto: estabelecimento para isolamento sanitário de pessoas atingidas por determinadas doenças.

Costuma-se reconhecer que Capitães da Areia pertence ao assim chamado “romance de 1930”, que registra importantes transformações pelas quais passava o Modernismo no Brasil, à medida que esse movimento se expandia e diversificava. No excerto, considerado no contexto do livro de que faz parte, constitui marca desse pertencimento

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Questão 1804

FUVEST
  1. Português
  2. Português

(Fuvest 2012)

Como não expressa visão populista nem elitista, o livro não idealiza os pobres e rústicos, isto é, não oculta o dano causado pela privação, nem os representa como seres desprovidos de vida interior; ao contrário, o livro trata de realçar, na mente dos desvalidos, o enlace estreito e dramático de limitação intelectual e esforço reflexivo. 

Essas afirmações aplicam-se ao modo como, na obra:

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