GuruGuia

Questão 70269

FUVEST

(FUVEST - 2022 - 2ª fase)

Uma empresa distribuidora de alimentos tem latas de ervilha (E) e latas de milho (M), em dois pesos, 1 kg e 2kg, totalizando 4 (quatro) tipos de latas: E1 e E2 (ervilha, em pesos de 1kg e 2kg, respectivamente) e M1 e M2 (milho, em pesos de 1kg e 2kg, respectivamente). Essas latas são agrupadas em pacotes para envio aos comerciantes. Dois pacotes de latas são considerados iguais se contiverem a mesma quantidade de latas de cada tipo, independentemente da maneira como são organizadas no pacote.

a) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 200kg (duzentos quilos) podem ser montados usando-se apenas latas dos tipos E1 e E2? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1 tipo dessas latas.

b) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 200kg (duzentos quilos) podem ser montados usando-se apenas latas dos tipos E1, E2 e M1? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1 ou 2 tipos dessas latas.

c) Quantos pacotes diferentes pesando, cada um, exatamente 20kg (vinte quilos) podem ser montados usando-se latas dos tipos E1, E2, M1 e M2? Na contagem, deve-se também levar em conta pacotes formados por apenas 1, 2 ou 3 tipos dessas latas.

Gabarito:

Resolução:

a) Vamos chamar de x a quantidade de latas E1 e de y a quantidade de latas E2. Assim, temos a equação:

$xcdot 1+ycdot 2=200$

$x+2y=200$ , em que x e y são inteiros não negativos

Para x=0, y=100
Para x=1, não há valor inteiro de y, notamos então que o valor de x deve ser par em qualquer solução.
Para x=2, y=99

…

Para x=200, y=0

Percebemos então, que o valor de y pode variar de 0 a 100, então temos 101 possibilidades de pacotes.

b) Vamos chamar de x a quantidade de latas E1, de y a quantidade de latas E2 e de z a quantidade de latas M1. Assim, temos a equação:

$xcdot 1+ycdot 2 +zcdot 1=200$

Percebemos, a partir da letra a, que cada equação da forma: $x+2y=a$ tem $frac{a}{2}+1$ soluções, (se a for ímpar, então somamos apenas o valor inteiro). Por exemplo:

$x+2y=200$ -> $frac{200}{2}+1=100+1=101$

$x+2y=201$ -> parte inteira de $frac{200}{2}+1=100+1=101$

Então, vamos passar o valor de z para o lado direito da equação e tentar analisar um pouco mais:

$x+2y=200-z$

Se z=0 -> $x+2y=200$ -> 101 possibilidades
Se z= 1 -> $x+2y=199$ -> 100 possibilidades
Se z=2 -> $x+2y=198$ -> 100 possibilidades

…

Se z=199 -> $x+2y=1$ -> 1 possibilidade
Se z=200 -> $x+2y=0$ -> 1 possibilidade

Então, note que somando as possibilidades temos:

101+100+100+99+99+...+2+2+1+1

Que é a soma de duas progressões aritméticas:

(101+100+...+1)+(100+99+...+1)=

$frac{(101+1)cdot 101}{2}+frac{(100+1)cdot 100}{2}=$

$frac{102cdot 101+101cdot 100}{2}=$

$frac{202cdot 101}{2}=$

$101cdot 101=101^2$ -> total de possibilidades para pacote

c) Vamos chamar de x a quantidade de latas E1, de y a quantidade de latas E2, de z a quantidade de latas M1 e de w a quantidade de latas M2. Assim, temos a equação:

$xcdot 1+ycdot 2 +zcdot wcdot 2=200$

$x+2y+z+2w=200$

Passando a variável w para o lado direito:

$x+2y+z=20-2w$

Veja o lado direito da equação sempre será um número par. Assim, podemos condicionar o número de soluções da equação da forma $x+2y+z=a$ como $(frac{a}{2}+1)^2$ . Vamos então fazer a mesma lógica que fizemos para a letra B.

Se w=0 -> $x+2y+z=20$ -> $11^2$
Se w=1: -> $x+2y+z=18$ -> $10^2$

…

Se $w=10$ -> $x+2y+z= 0$ -> $1^2$

Notamos então que o número de resultados é a soma dos quadrados:

$11^2+10^2+...+2^2+1^2$

Pela fórmula da soma dos quadrados de naturais:

$S= frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Para $n=11$ :

$S= frac{11(11+1)11cdot 2+1)}{6}$

$S=frac{11 cdot 12 cdot 23}{6}$

$S=11 cdot 2 cdot 23=22 cdot 23$

$S=506$ possibilidades de pacotes

Questão 1779

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

No contexto do cartum, a presença de numerosos animais de estimação permite que o juízo emitido pela personagem seja considerado

Ver questão

Questão 1780

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

Para obter o efeito de humor presente no cartum, o autor se vale, entre outros, do seguinte recurso:

Ver questão

Questão 1794

FUVEST

(Fuvest 2016)

Omolu espalhara a bexiga na cidade. Era uma vingança contra a cidade dos ricos. Mas os ricos tinham a vacina, que sabia Omolu de vacinas? Era um pobre deus das florestas d’África. Um deus dos negros pobres. Que podia saber de vacinas? Então a bexiga desceu e assolou o povo de Omolu. Tudo que Omolu pôde fazer foi transformar a bexiga de negra em alastrim, bexiga branca e tola. Assim mesmo morrera negro, morrera pobre. Mas Omolu dizia que não fora o alastrim que matara. Fora o¹lazareto. Omolu só queria com o alastrim marcar seus filhinhos negros. O lazareto é que os matava. Mas as macumbas pediam que ele levasse a bexiga da cidade, levasse para os ricos latifundiários do sertão. Eles tinham dinheiro, léguas e léguas de terra, mas não sabiam tampouco da vacina. O Omolu diz que vai pro sertão. E os negros, os ogãs, as filhas e pais de santo cantam:

Ele é mesmo nosso pai
e é quem pode nos ajudar...

Omolu promete ir. Mas para que seus filhos negros não o esqueçam avisa no seu cântico de despedida:

Ora, adeus, ó meus filhinhos,
Qu’eu vou e torno a vortá...

E numa noite que os atabaques batiam nas macumbas, numa noite de mistério da Bahia, Omolu pulou na máquina da Leste Brasileira e foi para o sertão de Juazeiro. A bexiga foi com ele.

Jorge Amado, Capitães da Areia.

¹lazareto: estabelecimento para isolamento sanitário de pessoas atingidas por determinadas doenças.

Costuma-se reconhecer que Capitães da Areia pertence ao assim chamado “romance de 1930”, que registra importantes transformações pelas quais passava o Modernismo no Brasil, à medida que esse movimento se expandia e diversificava. No excerto, considerado no contexto do livro de que faz parte, constitui marca desse pertencimento

Ver questão

Questão 1804

FUVEST

(Fuvest 2012)

Como não expressa visão populista nem elitista, o livro não idealiza os pobres e rústicos, isto é, não oculta o dano causado pela privação, nem os representa como seres desprovidos de vida interior; ao contrário, o livro trata de realçar, na mente dos desvalidos, o enlace estreito e dramático de limitação intelectual e esforço reflexivo.

Essas afirmações aplicam-se ao modo como, na obra:

Ver questão